Valor esperado e variação do log (a)

Eu tenho uma variável aleatória $X(a) = \log(a)$ onde a é distribuído normal $\mathcal N(\mu,\sigma^2)$ . O que posso dizer sobre $E(X)$ e $Var(X)$ ? Uma aproximação também seria útil.

— rocksportrocker
fonte

Eu acho que a pergunta era sobre o "inverso" do log-normal, ou seja, onde um rv A normal leva ao log-normal X = exp (A), o questionador estava perguntando sobre a distribuição de X = log (A), que é indefinido (devido às vezes exigir o log de um número negativo). Pode haver alguns resultados para um normal truncado, mas é provável que estejam confusos.

— Martin O'Leary

rocksportrocker, como aponta @Martin O'Leary, não é matematicamente possível ter essa variável

, porque

é indefinido para valores negativos. No mínimo, você precisa truncar

em algum valor não negativo. Você poderia nos dizer por que você acredita que

pode ser Normal?

X

$X$

\log (a)

$\log(a)$

a

$a$

a

$a$

— whuber

Se considerarmos a "aproximação" em um sentido bastante geral, podemos chegar a algum lugar.

Temos que supor que não temos uma distribuição normal real, mas algo que é aproximadamente normal, exceto que a densidade não pode ser diferente de zero em uma vizinhança de 0.

Então, vamos dizer que é "aproximadamente normal" (e concentrou-se perto do * média) no sentido de que podemos handwave embora as preocupações sobre aproximar-0 (e seu subsequente impacto sobre os momentos de , porque doesn 't' desça perto de 0 '), mas com os mesmos momentos de baixa ordem que a distribuição normal especificada, poderíamos usar a série de Taylor para aproximar os momentos da variável aleatória transformada . $a$ $a$ $\log(a)$ $a$

Para alguma transformação , isso envolve a expansão de como uma série de Taylor (pense em onde está assumindo o papel de ' ' e assume o papel de ' ') e, em seguida, obtendo as expectativas e, em seguida, computando a variação ou a expectativa do quadrado da expansão (a partir do qual é possível obter a variação). $g(X)$ $g(\mu_X + X-\mu_X)$ $g(x+h)$ $\mu_X$ $x$ $X-\mu_X$ $h$

A expectativa e variação aproximadas resultantes são:

e $\text{E}\left[g(X)\right]\approx g(\mu_X) +\frac{g''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$

$\text{Var}\left[g(X)\right]\approx \left(g'(\mu_X)\right)^2\sigma^2_X$

e assim (se eu não cometer nenhum erro), quando : $g() = \log()$

E [\log (a)] \approx l o g (μ_{a}) - \frac{σ_{a}^{2}}{2 μ_{a}^{2}}

$\text{E}\left[\log(a)\right]\approx log(\mu_a) -\frac{\sigma_a^2}{2\mu_a^2}$

Var [\log (a)] \approx σ_{a}^{2} / μ_{a}^{2}

$\text{Var}\left[\log(a)\right]\approx \sigma^2_a/\mu_a^2$

* Para que isso seja uma boa aproximação você geralmente deseja que o desvio padrão de ser bastante pequena em comparação com a média (baixo coeficiente de variação). $a$

— Glen_b -Reinstate Monica
fonte

Como a série de Taylor para log possui um raio de convergência relativamente pequeno, recomenda-se cautela ao aplicar essas aproximações.

— whuber

a

$a$

μ / σ > 1.5

$\mu/\sigma \gt 1.5$

μ / σ > 2.5

$\mu/\sigma \gt 2.5$ or so.

— whuber

In any case it is certainly worth being clear that we're indirectly relying on the convergence of

\ln (1 + x)

$\ln(1+x)$ (since

\ln (μ + y - μ) = \ln [μ {1 + (y - μ) / μ}] = \ln (μ) + \ln [1 + (y - μ) / μ]

$\ln(\mu + y-\mu) = \ln[\mu\{1 + (y - \mu)/\mu\}] = \ln(\mu) + \ln[1 + (y - \mu)/\mu]$ ). Thanks also for the suggested explicit values; if anything perhaps I am slightly overcautious when I use it. Two valuable comments.

— Glen_b -Reinstate Monica