Temos, supondo que tenha suporte na linha real positiva,
ξψ Onde X ~ F N e F n é a distribuição empírica dos dados.
Tomando o log desta equação, obtemos,
ξψ=X
X∼FnFn
Log(ξ)+Log(ψ)=Log(X)
Assim, pelo teorema da continuidade de Levy, e independência de e ψ
assumindo as funções caracteresíticas: ξψ
ΨLog(ξ)(t)ΨLog(ψ)(t)=ΨLog(X)
Agora, , t h e r e f o r e - L o g ( ξ ) ~ E x p ( 1 )
Assim,
Ψ L o g ( ξ ) ( - t ) = ( 1 + i t ) - 1ξ∼Unif[0,1],therefore−Log(ξ)∼Exp(1)
ΨLog(ξ)(−t)=(1+it)−1
Dado que
comX1. . . X1000A amostra aleatória deln(X).Ψln(X)=1n∑1000k=1exp(itXk),X1...X1000ln(X)
Agora podemos especificar completamente a distribuição de através de sua função característica:Log(ψ)
(1+it)−1ΨLog(ψ)(t)=1n∑k=11000exp(itXk)
ln(ψ)t<1
MLog(ψ)(t)=1n∑k=11000exp(−tXk)(1−t)
It is enough then to invert the Moment generating function to get the distribution of ln(ϕ) and thus that of ϕ