Variância do produto de k variáveis ​​aleatórias correlacionadas

Qual é a variação do produto de $k$ variáveis ​​aleatórias correlacionadas?

Mais informações sobre esse tópico do que você provavelmente precisa podem ser encontradas em Goodman (1962): "A variação do produto de K variáveis ​​aleatórias" , que deriva fórmulas para variáveis ​​aleatórias independentes e variáveis ​​aleatórias potencialmente correlacionadas, juntamente com algumas aproximações. Em um artigo anterior ( Goodman, 1960 ), a fórmula para o produto de exatamente duas variáveis ​​aleatórias foi derivada, o que é um pouco mais simples (embora ainda bastante complicado), para que possa ser um lugar melhor para começar se você quiser entender a derivação .

Para ser completo, porém, é assim.

Duas variáveis

Suponha o seguinte:

• $x$ e$y$ são duas variáveis ​​aleatórias
• $X$ e$Y$ são suas expectativas (diferentes de zero)
• $V(x)$ e$V(y)$ são suas variações
• $\delta_x = (x-X)/X$ (e da mesma forma para$\delta_y$ )
• $D_{i,j} = E \left[ (\delta_x)^i (\delta_y)^j\right]$
• $\Delta_x = x-X$ (e da mesma forma para$\Delta_y$ )
• $E_{i,j} = E\left[(\Delta_x)^i (\Delta_y)^j\right]$
• é o coeficiente de variação ao quadrado: V ( x ) / X 2 (da mesma forma para G ( Y ) )$G(x)$$V(x)/X^2$$G(Y)$

Então: ou equivalente:

$$V(xy) = (XY)^2[G(y) + G(x) + 2D_{1,1} + 2D_{1,2} + 2D_{2,1} + D_{2,2} - D_{1,1}^2]$$

$$V(xy) = X^2V(y) + Y^2V(x) + 2XYE_{1,1} + 2XE_{1,2} + 2YE_{2,1} + E_{2,2} - E_{1,1}^2$$

Mais de duas variáveis

O artigo de 1960 sugere que este é um exercício para o leitor (que parece ter motivado o artigo de 1962!).

A notação é semelhante, com algumas extensões:

• $(x_1, x_2, \ldots x_n)$ be the random variables instead of $x$ and $y$
• $M = E\left( \prod_{i=1}^k x_i \right)$
• $A = \left(M / \prod_{i=1}^k X_i\right) - 1$
• $s_i$ = 0, 1, or 2 for $i = 1, 2, \ldots k$
• $u$ = number of 1's in $(s_1, s_2, \ldots s_k)$
• $m$ = number of 2's in $(s_1, s_2, \ldots s_k)$
• $D(u,m) = 2^u - 2$ for $m=0$ and $2^u$ for $m>1$,
• $C(s_1, s_2, \ldots, s_k) = D(u,m) \cdot E \left( \prod_{i=1}^k \delta_{x_i}^{s_i} \right)$
• $\sum_{s_1 \cdots s_k}$ indicates summation of the $3^k - k -1$ sets of $(s_1, s_2, \ldots s_k)$ where $2m + u > 1$

Then, at long last:

$$V\left(\prod_{i=1}^k x_i\right) = \prod X_i^2 \left( \sum_{s_1 \cdots s_k} C(s_1, s_2 \ldots s_k) - A^2\right)$$

See the papers for details and slightly more tractable approximations!

Just to add to the awesome answer of Matt Krause (in fact easily derivable from there). If x, y are independent then,

$$\begin{equation*} \begin{split} E_{1,1} &= E[(x-E[x])(y-E[y])] = Cov(x,y) = 0\\ E_{1,2} &= E[(x-E[x])(y-E[y])^2] \\ &= E[x-E(x)]E[(y-E[y])^2] \\ &= (E[x]-E[x])E[(y-E[y])^2]=0\\ E_{2,1} &= 0\\ E_{2,2} &= E[(x-E[x])^2(y-E[y])^2]\\ &= E[(x-E[x])^2]E[(y-E[y])^2\\ &= V[x]V[y]\\ V[xy] &= E[x]^2 V[y] + E[y]^2 V[x] + V[x]V[y] \end{split} \end{equation*}$$

In addition to the general formula given by Matt it may be worth noting that there is a somewhat more explicit formula for zero mean Gaussian random variables. It follows from Isserlis' theorem, see also Higher moments for the centered multivariate normal distribution.

Suppose that $(x_1, \ldots, x_k)$ follows a multivariate normal distribution with mean 0 and covariance matrix $\Sigma$. If the number of variables $k$ is odd, $E\left(\prod_i x_i\right) = 0$ and

$$V\left(\prod_i x_i\right) = E\left( \prod_i x_i^2\right) = \sum \prod \tilde{\Sigma}_{i,j}$$ where $\Sigma \prod$ means sum over all partitions of $\{1, \ldots, 2k\}$ into $k$ disjoint pairs $\{i, j\}$ with each term being a product of the corresponding $k$ $\tilde{\Sigma}_{i,j}$'s, and where $$\tilde{\Sigma} = \left( \begin{array}{cc} \Sigma & \Sigma \\ \Sigma & \Sigma \end{array} \right)$$ is the covariance matrix for $(x_1, \ldots, x_k, x_1, \ldots, x_k)$. If $k$ is even, $$V\left(\prod_i x_i\right) = \sum \prod \tilde{\Sigma}_{i,j} - \left(\sum \prod \Sigma_{i,j}\right)^2.$$ In the case $k = 2$ we get $$V(x_1x_2) = \Sigma_{1,1} \Sigma_{2,2} + 2 (\Sigma_{1,2})^2 - \Sigma_{1,2}^2 = \Sigma_{1,1} \Sigma_{2,2} + (\Sigma_{1,2})^2.$$ If $k = 3$ we get $$V(x_1x_2x_3) = \sum \Sigma_{i,j}\Sigma_{k,l}\Sigma_{r,t},$$ where there are 15 terms in the sum.

It is, in fact, possible to implement the general formula. The most difficult part appears to be the computation of the required partitions. In R, this can be done with the function setparts from the package partitions. Using this package it was no problem to generate the 2,027,025 partitions for $k = 8$, the 34,459,425 partitions for $k = 9$ could also be generated, but not the 654,729,075 partitions for $k = 10$ (on my 16 GB laptop).

A couple of other things are worth noting. First, for Gaussian variables with non-zero mean it should be possible to derive an expression as well from Isserlis' theorem. Second, it is unclear (to me) if the above formula is robust against deviations from normality, that is, if it can be used as an approximation even if the variables are not multivariate normally distributed. Third, though the formulas above are correct, it is questionable how much the variance tells about the distribution of the products. Even for $k = 2$ the distribution of the product is quite leptokurtic, and for larger $k$ it quickly becomes extremely leptokurtic.