Por que a probabilidade é zero para qualquer valor de uma distribuição normal?

Notei que na distribuição Normal, a probabilidade é igual a zero, enquanto que na distribuição de Poisson, ela não será igual a zero quando é um número inteiro não negativo. $P(x=c)$ $c$

Minha pergunta é: a probabilidade de alguma constante na distribuição normal é igual a zero porque representa a área sob qualquer curva? Ou é apenas uma regra para memorizar?

probability normal-distribution poisson-distribution

— Psycho 4 Physics
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distribuição contínua vs discreta

— Glen_b -Reinstala Monica

Muito relacionado (pergunta um pouco diferente, essencialmente a mesma resposta): stats.stackexchange.com/questions/4220 .

— whuber

Nada que valha a pena conhecer é apenas uma "regra para memorizar".

— Matthew Drury

Talvez o seguinte experimento mental o ajude a entender melhor por que a probabilidade é zero em uma distribuição contínua: Imagine que você tem uma roda da fortuna . Normalmente, a roda é dividida em vários setores distintos, talvez 20 ou mais. Se todos os setores têm a mesma área, você teria uma probabilidade de para bater um setor específico (por exemplo, o preço principal). A soma de todas as probabilidades é 1, porque . Mais geral: se houver $Pr(X=a)$ $1/20$ $20\cdot 1/20 = 1$ $m$ setores distribuídos uniformemente na roda, todos os setores têm uma probabilidade de de serem atingidos (probabilidades uniformes). Mas o que acontece se decidirmos dividir a roda em um milhão de setores. Agora, a probabilidade de acertar um setores específicos (o prêmio principal), é extremamente pequeno: . Além disso, observe que o ponteiro pode teoricamente parar em um número infinito de posições da roda. Se quiséssemos fazer um prêmio separado para cada possível ponto de parada, teríamos que dividir a roda em um número infinito de "setores" de área igual (mas cada um deles teria uma área de 0). Mas que probabilidade devemos atribuir a cada um desses "setores"? Ele deve ser zero $1/m$ $1/10^{6}$ porque, se as probabilidades para cada "setor" forem positivas e iguais, a soma de infinitos números positivos iguais diverge, o que cria uma contradição (a probabilidade total deve ser 1). É por isso que só podemos atribuir uma probabilidade a um intervalo , a uma área real no volante.

Mais técnico: Em uma distribuição contínua (por exemplo , uniforme contínuo , normal e outros ), a probabilidade é calculada por integração, como uma área sob a função de densidade de probabilidade (com ): Mas a área de um intervalo de comprimento 0 é 0. $f(x)$ $a\leq b$

P (uma \leq X \leq b) = \int_{uma}^{b} f (x) d x

$P(a\leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) dx$

Veja este documento para a analogia da roda da fortuna.

A distribuição de Poisson, por outro lado, é uma distribuição de probabilidade discreta. Uma variável aleatória de Poisson pode assumir apenas valores discretos (ou seja, o número de filhos para uma família não pode ser 1,25). A probabilidade de uma família ter exatamente 1 filho certamente não é zero, mas é positiva. A soma de todas as probabilidades para todos os valores deve ser 1. Outras distribuições discretas famosas são: Binomial , Binomial negativo , Geométrico , Hipergeométrico e muitas outras .

— COOLSerdash
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Esse argumento falha em um ponto crucial: nem sempre é o caso em que "a soma de um número infinito de números positivos é infinita". A sequência de probabilidades de Poisson é um contra-exemplo! Você pode consertar isso com uma qualificação adequada, como salientar que a soma de infinitamente muitos números positivos , por menores que sejam, diverge.

— whuber

@whuber Acho que foi isso que eu quis dizer quando escrevi a resposta, mas não consegui formulá-la corretamente. Obrigado pela atenção. Espero que esteja correto agora.

— COOLSerdash

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@ Whuber Agora estou confuso. Isso é exatamente a formulação você sugeriu que eu adicionar em seu primeiro comentário: "[...] como apontando que a soma de infinitos números positivos, não importa quão pequeno eles podem ser, diverge"

— COOLSerdash

@whuber Agora, está totalmente claro. Eu adicionei a qualificação à minha resposta. Mais uma vez obrigado por apontar.

— COOLSerdash

"Probabilidades de variáveis aleatórias contínuas (X) são definidas como a área sob a curva de seu PDF. Portanto, apenas faixas de valores podem ter uma probabilidade diferente de zero. A probabilidade de uma variável aleatória contínua ser igual a algum valor é sempre zero". página de referência: http://support.minitab.com/en-us/minitab-express/1/help-and-how-to/basic-statistics/probability-distributions/supporting-topics/basics/continuous-and-discrete -probability-distributions /

— Rui HUANG
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