Equação correta para covariância de amostra imparcial ponderada

Estou procurando a equação correta para calcular a covariância de amostra imparcial ponderada. As fontes da Internet são bastante raras nesse tema e todas usam equações diferentes.

A equação mais provável que encontrei é esta:

$q_{jk}=\frac{\sum_{i=1}^{N}w_i}{\left(\sum_{i=1}^{N}w_i\right)^2-\sum_{i=1}^{N}w_i^2} \sum_{i=1}^N w_i \left( x_{ij}-\bar{x}_j \right) \left( x_{ik}-\bar{x}_k \right) .$

De: https://en.wikipedia.org/wiki/Sample_mean_and_sample_covariance#Weighted_samples

Obviamente, você deve calcular a média ponderada da amostra (imparcial) de antemão.

No entanto, eu encontrei várias outras fórmulas como:

$q_{jk}= \frac{1}{\sum_{i=1}^N w_i)-1}\sum_{i=1}^N w_i \left( x_{ij}-\bar{x}_j \right) \left( x_{ik}-\bar{x}_k \right) .$

Ou eu já vi alguns códigos-fonte e trabalhos acadêmicos apenas usando a fórmula de covariância padrão, mas com a média ponderada da amostra em vez da média da amostra ...

Alguém pode me ajudar e lançar alguma luz?

/ EDIT: meus pesos são simplesmente o número de observações para uma amostra no conjunto de dados, assim weights.sum () = n

Encontrou a solução em um livro de 1972 (George R. Price, Ann. Hum. Genet., Lond, pp485-490, Extension of covariance selection math, 1972) .

Covariância de amostra ponderada enviesada:

$\Sigma=\frac{1}{\sum_{i=1}^{N}w_i}\sum_{i=1}^N w_i \left(x_i - \mu^*\right)^T\left(x_i - \mu^*\right)$

E a covariância de amostra ponderada imparcial dada pela aplicação da correção de Bessel:

$\Sigma=\frac{1}{\sum_{i=1}^{N}w_i - 1}\sum_{i=1}^N w_i \left(x_i - \mu^*\right)^T\left(x_i - \mu^*\right)$

$\mu^*$

$\mathbf{\mu^*}=\frac{\sum_{i=1}^N w_i \mathbf{x}_i}{\sum_{i=1}^N w_i}$

$\sum_{i=1}^N w_i=N^*$$N^*$

Atualizei o artigo na Wikipedia, onde você também encontrará a equação para variação de amostra ponderada imparcial:

https://en.wikipedia.org/wiki/Weighted_arithmetic_mean#Weighted_sample_covariance

$w_i$$\left(x_i - \mu^*\right)$$\left(x_i - \mu^*\right)$

import pandas as pd
import numpy as np
# X is the dataset, as a Pandas' DataFrame
mean = mean = np.ma.average(X, axis=0, weights=weights) # Computing the weighted sample mean (fast, efficient and precise)
mean = pd.Series(mean, index=list(X.keys())) # Convert to a Pandas' Series (it's just aesthetic and more ergonomic, no differenc in computed values)
xm = X-mean # xm = X diff to mean
xm = xm.fillna(0) # fill NaN with 0 (because anyway a variance of 0 is just void, but at least it keeps the other covariance's values computed correctly))
sigma2 = 1./(w.sum()-1) * xm.mul(w, axis=0).T.dot(xm); # Compute the unbiased weighted sample covariance

Realizou algumas verificações de sanidade usando um conjunto de dados não ponderado e um conjunto de dados ponderado equivalente, e funciona corretamente.