Distribuição amostral dos coeficientes de regressão

Eu aprendi anteriormente sobre distribuições de amostras que deram resultados que eram para o estimador, em termos do parâmetro desconhecido. Por exemplo, para as distribuições de amostragem de e no modelo de regressão linear $\hat\beta_0$ $\hat\beta_1$ $Y_i = \beta_o + \beta_1 X_i + \varepsilon_i$

{\hat{β}}_{0} \sim N (β_{0}, σ^{2} (\frac{1}{n} + \frac{{\bar{x}}^{2}}{S_{x x}}))

$\hat{\beta}_0 \sim \mathcal N \left(\beta_0,~\sigma^2\left(\frac{1}{n}+\frac{\bar{x}^2}{S_{xx}}\right)\right)$ e

{\hat{β}}_{1} \sim N (β_{1}, \frac{σ^{2}}{S_{x x}})

$\hat{\beta}_1 \sim \mathcal N \left(\beta_1,~\frac{\sigma^2}{S_{xx}}\right)$

onde $S_{xx} = \sum_{i=1}^n (x_i^2) -n \bar{x}^2$

Mas agora eu vi o seguinte em um livro :

Suponha que ajustemos o modelo por mínimos quadrados da maneira usual. Considere a distribuição posterior bayesiana e escolha anteriores para que isso seja equivalente à distribuição frequente de amostras freqüentes, ou seja ......

$(\begin{matrix} β_{0} \\ β_{1} \end{matrix}) \sim N_{2} [(\begin{matrix} {\hat{β}}_{1} \\ {\hat{β}}_{2} \end{matrix}), {\hat{σ}}^{2} {(\begin{matrix} n & \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \\ \sum_{i = 1}^{n} x_{i} & \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} \end{matrix})}^{- 1}]$ $\left( \begin{matrix} \beta_0 \\ \beta_1 \end{matrix} \right) \sim \mathcal N_2\left[\left(\begin{matrix} \hat{\beta}_1 \\ \hat{\beta}_2 \end{matrix} \right),~\hat{\sigma}^2 \left(\begin{matrix} n & \sum_{i=1}^{n}x_i \\ \sum_{i=1}^{n}x_i & \sum_{i=1}^{n}x_i^2 \end{matrix} \right) ^{-1}\right]$

Isso está me confundindo porque:

Por que as estimativas aparecem no lado esquerdo (lhs) das 2 primeiras expressões e no lado direito (rhs) da última expressão?
Por que os chapéus beta na última expressão têm 1 e 2 subscritos em vez de 0 e 1?
São apenas representações diferentes da mesma coisa? Se eles são, alguém poderia me mostrar como eles são equivalentes? Caso contrário, alguém poderia explicar a diferença?
$\leftrightarrow$

— Joe King
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Esta parte está relacionada principalmente à sua primeira, terceira e quarta pergunta:

Há uma diferença fundamental entre as estatísticas bayesianas e as estatísticas freqüentes.

$\theta$

$P(\theta|\underline{x})$

Isso resulta em coisas que geralmente parecem semelhantes, mas onde as variáveis em uma parecem "de maneira errada", vistas através das lentes da outra maneira de pensar sobre isso.

Então, fundamentalmente, são coisas um pouco diferentes , e o fato de que as coisas que estão no LHS de um estão no RHS do outro não é um acidente.

Se você trabalha com os dois, logo fica razoavelmente claro.

A segunda pergunta parece-me relacionar simplesmente com um erro de digitação.

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a afirmação "equivalente à distribuição freqüente de amostragem freqüente, isto é": entendi que isso significava que os autores estavam declarando a distribuição de amostragem freqüentista. Eu li isso errado?

Há duas coisas acontecendo lá - elas expressaram algo um pouco vagamente (as pessoas fazem esse tipo de expressão excessivamente frouxa o tempo todo), e acho que você também está interpretando de maneira diferente da intenção.

O que exatamente significa a expressão que eles dão?

Esperamos que a discussão abaixo ajude a esclarecer o sentido pretendido.

Se você puder fornecer uma referência (pref. Online, pois não tenho um bom acesso à biblioteca) onde essa expressão é derivada, ficaria muito grato.

Segue-se a partir daqui:

http://en.wikipedia.org/wiki/Bayesian_linear_regression

$\beta$ $\sigma^2$

A razão é que o posterior é proporcional à probabilidade e os intervalos gerados a partir dos posteriores nos parâmetros correspondem aos intervalos de confiança freqüentes para os parâmetros.

Você pode encontrar as primeiras páginas aqui úteis também.

— Glen_b -Reinstate Monica
fonte

Obrigado, isso é útil. Eu já fiz algumas estatísticas Bayesianas. No entanto, ainda estou um pouco confuso, por causa da afirmação "equivalente à distribuição frequente de amostras freqüentes" : entendi que isso significava que os autores estavam declarando a distribuição de amostras freqüentes. Eu li isso errado? O que exatamente significa a expressão que eles dão? Se você puder fornecer uma referência (pref. Online, pois não tenho um bom acesso à biblioteca) onde essa expressão é derivada, ficaria muito grato.

— Joe King

Joe - veja minha edição acima

— Glen_b -Reinstala Monica