Comparando AIC de um modelo e sua versão transformada por log

A essência da minha pergunta é esta:

Seja $Y \in \mathbb{R}^n$ uma variável aleatória normal multivariada com média $\mu$ e matriz de covariância $\Sigma$ . Deixe- $Z := \log(Y)$ , ou seja, $Z_i = \log(Y_i), i \in \{1,\ldots,n\}$ . Como eu comparo o AIC de um modelo adequado às realizações observadas de versus um modelo adequado às realizações observadas de ?$Y$$Z$

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Minha pergunta inicial e um pouco mais longa:

Seja $Y \sim \mathcal{N}(\mu,\Sigma)$ uma variável aleatória normal multivariada. Se eu quiser comparar um modelo adequado para $Y$ versus um modelo adequado para $\log(Y)$ , eu poderia examinar as probabilidades de log. No entanto, como esses modelos não estão aninhados, não posso comparar as probabilidades de log (e coisas como AIC etc.) diretamente, mas preciso transformá-las.

Eu sei que se $X_1,\ldots,X_n$ são variáveis ​​aleatórias com o pdf em conjunto e se para transformações individuais e , o pdf de é fornecido por onde J é o jacobiano associado à transformação.Y i = t i ( X 1 , … , X n ) t i i ∈ { 1 , … , n } Y 1 , … , Y n f ( y 1 , … , y n ) = g ( t - 1 1 ( $g(x_1,\ldots,x_n)$$Y_i = t_i(X_1,\ldots,X_n)$$t_i$$i \in \{1,\ldots,n\}$$Y_1,\ldots,Y_n$

$$f(y_1,\ldots,y_n)=g(t_1^{-1}(y),\ldots,t_n^{-1}(y))\det(J)$$ $J$

Eu simplesmente tenho que usar a regra de transformação para comparar

$$l(Y) = \log(\prod_{i=1}^{n}\phi(y_i;\mu,\Sigma))$$ para $$l(\log(Y))=\log(\prod_{i=1}^{n}\phi(\log(y_i);\mu,\Sigma))$$

ou há algo mais que eu possa fazer?

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[editar] Esqueceu de colocar logaritmos nas duas últimas expressões.

$Y$$Z$

Os investigadores devem ter certeza de que todas as hipóteses são modeladas usando a mesma variável de resposta (por exemplo, se todo o conjunto de modelos fosse baseado no log (y), nenhum problema seria criado; é a mistura de variáveis ​​de resposta incorreta).

E, a propósito, para usar os critérios AIC ou BIC, seus modelos não precisam ser necessariamente aninhados (mesma referência, página 88, seção 2.12.4 Modelos não aninhados) e, na verdade, essa é uma das vantagens de usar o BIC.

$log\{y(n)+1\}$$\cdot \sum log\{y(n)+1\}$$n = 1,2, ..., N$

Akaike, H. 1978. "Sobre a probabilidade de um modelo de série temporal", Jornal da Royal Statistical Society, Série D (The Statistician), 27 (3/4), pp. 217-235.