Condições para a existência de uma matriz de informações de Fisher

Diferentes livros citam condições diferentes para a existência de uma matriz de informações de Fisher. Várias dessas condições estão listadas abaixo, cada uma das quais aparece em algumas, mas não em todas, das definições de "matriz de informações de Fisher".

1. Existe um conjunto padrão e mínimo de condições?
2. Das 5 condições abaixo, quais podem ser eliminadas?
3. Se uma das condições pode ser eliminada, por que você acha que ela foi incluída em primeiro lugar?
4. Se uma das condições não pode ser eliminada, significa que os livros que não a especificaram deram uma definição incorreta ou, pelo menos, incompleta?

1. Zacks, The Theory of Statistical Inference (1971), p. 194.
   A matriz é definida positivamente para todos os θ ∈ Θ . $\mathcal{I}\left(\theta\right)$$\theta\in\Theta$
2. Schervish, Theory of Statistics (1997, corr. 2ª impressão), Definition 2.78, p. 111
   O conjunto é o mesmo para todos os θ . $C=\left\{x:f\left(x;\theta\right)>0\right\}$$\theta$
3. Borovkov, Estatística Matemática (1998). p. 147
   são continuamente diferenciáveis θ i . $f\left(x;\theta\right)$$\theta_i$
4. 
   $\mathcal{I}\left(\theta\right)$
5. 
   $\frac{\partial^2}{\partial\theta_i\partial\theta_j}f\left(x;\theta\right)$

Em comparação, aqui está a lista completa de condições no Lehman & Cassella. Teoria da estimativa pontual (1998). p. 124 :

1. $\Theta$
2. $C=\left\{x:f\left(x,\theta\right)>0\right\}$$\theta\in\Theta$
3. $\frac{\partial f\left(x;\theta\right)}{\partial\theta_i}$

E aqui está a lista completa de condições em Barra, Noções sobre fundamentos da estatística estatística (1971). Definição 1, p. 35 :

$\theta\in\Theta$$=0$

$\int f\left(x;\theta\right)\space \mu\left(dx\right)$$\theta_i$

Não tenho acesso a todas as referências, mas gostaria de destacar algumas observações sobre alguns de seus pontos:

• Borovkov, Estatística Matemática (1998). p. 140 apresenta outra suposição, Condição (R), que é bastante forte. Essa condição supõe que$E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]<\infty$. Então, o autor assume basicamente que cada entrada da matriz de informações de Fisher (FIM) está bem definida.

• A dupla diferenciabilidade e permutabilidade das premissas de operadores integrais e diferenciais são empregadas para deduzir a igualdade $E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]=-E[\partial^2\log f(x;\theta)/\partial\theta^2]$. Essa igualdade geralmente é útil, mas não estritamente necessária.

• É difícil estabelecer condições gerais para a existência da MIF sem descartar alguns modelos para os quais a MIF realmente existe. Por exemplo, a condição de diferenciabilidade não é uma condição necessária para a existência do FIM. Um exemplo disso é o modelo exponencial duplo ou Laplace. O FIM correspondente está bem definido, mas a densidade não é duplamente diferenciável no modo. Alguns outros modelos duplamente diferenciáveis ​​têm um comportamento inadequado da MIF e exigem algumas condições adicionais (consulte este documento ).

É possível criar condições suficientes muito gerais, mas elas podem ser muito rígidas. As condições necessárias para a existência da MIF não foram totalmente estudadas. Então, a resposta para sua primeira pergunta pode não ser simples.