Encontrar a variância do estimador para a máxima probabilidade para a distribuição de Poisson

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Se são distribuições de Poisson iid com o parâmetro que a estimativa de probabilidade máxima é para dados . Portanto, podemos definir o estimador correspondente Minha pergunta é como você descobriria a variação desse estimador? $K_1, \dots, K_n$ $\beta$

\hat{β} (k_{1}, \dots, k_{n}) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} k_{i}

$\hat\beta (k_1, \dots, k_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n k_i$

k_{1}, \dots, k_{n}

$k_1, \dots, k_n$

T = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} K_{i} .

$T = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n K_i .$

Em particular, como cada segue uma distribuição Poisson com o parâmetro eu sei, pelas propriedades do Poisson, que a distribuição seguirá uma distribuição Poisson com o parâmetro , mas o que é a distribuição de ? $K_i$ $\beta$ $\sum_{i=1}^n K_i$ $n \beta$ $T$

variance maximum-likelihood poisson-distribution

— user53076
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Você não precisa da distribuição de para calcular sua variação, apenas as propriedades básicas das variações.

T

$T$

— Glen_b -Reinstar Monica

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$T$ é distribuído ... como uma variável de Poisson escalada por . Portanto, a variação de é . $n$ $T$ $1/n^2 \times n\beta$

— F. Tusell
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Lembre-se de que sempre. Mas, se os são independentes, qual é o valor de ? É tudo o que você precisa para responder à pergunta.

V a r (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2} V a r (X_{i}) + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} a_{i} a_{j} C o v (X_{i} X_{j}),

$\mathbb{Var}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i\right) = \sum_{i=1}^n a_i^2\,\mathbb{Var}(X_i) + 2 \sum_{1\leq i<j\leq n} a_i\,a_j\,\mathbb{Cov}(X_i X_j) \, ,$

X_{i}

$X_i$

C o v (X_{i} X_{j})

$\mathbb{Cov}(X_i X_j)$

— zen
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