Quando a transformação z de Fisher é apropriada?

Quero testar uma correlação de amostra $r$ quanto à significância, usando valores-p, ou seja

$H_0: \rho = 0, \; H_1: \rho \neq 0.$

Entendi que posso usar a transformação z de Fisher para calcular isso

$z_{obs}= \displaystyle\frac{\sqrt{n-3}}{2}\ln\left(\displaystyle\frac{1+r}{1-r}\right)$

e encontrar o valor p por

$p = 2P\left(Z>z_{obs}\right)$

usando a distribuição normal padrão.

Minha pergunta é: quão grande deve ser $n$ para que essa seja uma transformação apropriada? Obviamente, $n$ deve ser maior que 3. Meu livro não menciona nenhuma restrição, mas no slide 29 desta apresentação ele diz que $n$ deve ser maior que 10. Para os dados que estarei considerando, terei algo como $5 \leq n \leq 10$ .

Para perguntas como essas, eu apenas executaria uma simulação e veria se os valores- se comportam como eu esperava. O valor- p é a probabilidade de extrair aleatoriamente uma amostra que se desvia pelo menos tanto da hipótese nula quanto os dados que você observou se a hipótese nula for verdadeira. Portanto, se tivéssemos muitas dessas amostras, e uma delas tivesse um valor- p de 0,04, esperaríamos que 4% dessas amostras tivessem um valor menor que 0,04. O mesmo vale para todos os outros possíveis$p$$p$$p$ .$p$

Abaixo está uma simulação no Stata. Os gráficos verificam se os valores de medem o que eles devem medir, ou seja, mostram quanto a proporção de amostras com valores de p menores que o valor de p nominal se desvia do valor de p nominal . Como você pode ver, esse teste é um tanto problemático com um número tão pequeno de observações. Se é ou não muito problemático para a sua pesquisa, é o seu julgamento.$p$$p$$p$$p$

clear all
set more off

program define sim, rclass
    tempname z se
    foreach i of numlist 5/10 20(10)50 {
        drop _all
        set obs `i'
        gen x = rnormal()
        gen y = rnormal()
        corr x y 
        scalar `z'  = atanh(r(rho))
        scalar `se' = 1/sqrt(r(N)-3)
        return scalar p`i' = 2*normal(-abs(`z'/`se'))
    }
end

simulate p5 =r(p5)  p6 =r(p6)  p7  =r(p7)     ///
         p8 =r(p8)  p9 =r(p9)  p10 =r(p10)    ///
         p20=r(p20) p30=r(p30) p40 =r(p40)    ///
         p50=r(p50), reps(200000) nodots: sim 

simpplot p5 p6 p7 p8 p9 p10, name(small, replace) ///
    scheme(s2color) ylabel(,angle(horizontal)) 

simpplot p20 p30 p40 p50 , name(less_small, replace) ///
    scheme(s2color) ylabel(,angle(horizontal)) 

FWIW Vejo a recomendação em Myers & Well (desenho da pesquisa e análises estatísticas, segunda edição, 2003, p. 492). A nota de rodapé declara:$N\ge 10$

A rigor, a transformação é influenciada por uma quantidade r / ( 2 ( N - 1 ) ) : ver Pearson e Hartley (1954, p. 29). Esse viés geralmente será desprezível, a menos que N seja pequeno e ρ seja grande, e nós o ignoramos aqui.$Z$$r/(2(N-1))$$N$$\rho$

Não tenho certeza se a transformação de Fisher é apropriada aqui. Para H 0 : ρ = 0 (NB: hipótese nula é para população ρ , não para a amostra r ), a distribuição amostral do coeficiente de correlação já é simétrica, portanto, não há necessidade de reduzir a assimetria, que é o que o z de Fisher pretende fazer; e você pode usar o t de Student$z$$H_0: \rho=0$$\rho$$r$$z$$t$ aproximação .

Supondo que você queira dizer , a assimetria desse PDF dependerá do valor proposto de ρ 0 ; portanto, não haveria uma resposta geral de quão grande deve ser n . Além disso, os valores mínimos de n dependeriam do nível de significância α em que você está trabalhando. Você não declarou seu valor.$H_0: \rho = \rho_0 \not = 0$$\rho_0$$n$$n$$\alpha$

O argumento de Nick é justo: as aproximações e recomendações estão sempre operando em alguma área cinzenta.

$n\geq (t_{\alpha/2} s/\epsilon)^2$$t$$s$$n \geq (1.96 s/\epsilon)^2$