Métricas para matrizes de covariância: desvantagens e vantagens

Quais são as "melhores" métricas para matrizes de covariância e por quê? É claro para mim que Frobenius & c não são apropriados, e as parametrizações de ângulos também têm seus problemas. Intuitivamente, pode-se querer um compromisso entre esses dois, mas eu também gostaria de saber se há outros aspectos a serem lembrados e talvez padrões bem estabelecidos.

$L_1$

Aqui está uma boa discussão de alguns problemas, um exemplo da otimização de rede e outro da visão computacional . E aqui está uma pergunta semelhante, recebendo outras métricas, mas sem discussão.

covariance metric

— Quartzo
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Qual é o objetivo da métrica que você procura? Para o que a métrica Frobenius é inadequada?

— whuber

L_{1}

$L_1$

Como é a última pergunta que você menciona "mais restrita"? Afinal, todas as matrizes de covariância são simétricas. Parece ser uma duplicata perfeita.

— whuber

Essa é uma boa crítica à outra questão. Posso sugerir que você edite sua pergunta (e título) para refletir o conteúdo do seu último comentário? Isso o distinguirá claramente da aparente duplicata e ajudará os respondentes a fornecer respostas mais apropriadas. (E não se preocupe com edições para sua própria pergunta: que é esperado; o fio meta é principalmente sobre comunidade edição.)

— whuber

@kjetilbhalvorsen Essa é uma frase provocativa! Você poderia expandir em uma resposta? Ou fornecer uma referência de artigo?

— Sycorax diz Reinstate Monica

Respostas:

Bem, não acho que exista uma boa métrica ou "a melhor maneira" de analisar matrizes de covariância. A análise deve estar sempre alinhada ao seu objetivo. Digamos que C é minha matriz de covariância. A diagonal contém a variação para cada parâmetro calculado. Portanto, se você estiver interessado no significado dos parâmetros, o traço (C) é um bom começo, pois é seu desempenho geral.

Se você plotar seu parâmetro e seu significado, poderá ver algo assim:

x1 =  1.0 ±  0.1 
x2 = 10.0 ±  5.0
x3 =  5.0 ± 15.0 <-- non-significant parameter

Se você estiver interessado na correlação mútua, essa tabela pode gerar algo interessante:

x1  1.0
x2  0.9  1.0
x3 -0.3 -0.1  1.0
    x1    x2   x3

Cada elemento é o coeficiente de correlação entre os parâmetros xi e xj. A partir do exemplo, é visível que os parâmetros x1 e x2 estão altamente correlacionados.

— nali
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Pergunta interessante, estou enfrentando o mesmo problema no momento! Depende de como você define 'melhor', ou seja, procura algum valor único médio para o spread, ou para a correlação entre os dados, etc. Encontrei em Press, SJ (1972): Análise Multivariada Aplicada, p. 108 que a variância generalizada, definida como o determinante da matriz de covariância, é útil como uma única medida para o spread. Mas, se é a correlação que você procura, precisarei pensar mais. Avise-se me.

— Lucozade
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Referência por favor.

— Nick Cox