Qual é a soma das variáveis ​​t ao quadrado?

Vamos $t_i$ ser desenhado iid de uma distribuição t de Student com$n$ graus de liberdade, de tamanho moderado (digamos, menos de 100). Defina é distribuído quase como um qui-quadrado com graus de liberdade? Existe algo como o Teorema do Limite Central para a soma das variáveis ​​aleatórias ao quadrado?$n$

Respondendo à primeira pergunta.

Podemos começar pelo fato observado por mpiktas, que . E tente primeiro um passo mais simples - procure a distribuição de uma soma de duas variáveis ​​aleatórias distribuídas por F ( 1 , n ) . Isso pode ser feito calculando a convolução de duas variáveis ​​aleatórias ou calculando o produto de suas funções características.$t^2 \sim F(1, n)$$F(1,n)$

O artigo do PCB Phillips mostra que meu primeiro palpite sobre "funções hipergeométricas [confluentes] envolvidas") foi realmente verdadeiro. Isso significa que a solução não será trivial e a força bruta é complicada, mas condição necessária para responder à sua pergunta. Portanto, como é fixo e você resume distribuições t, não podemos dizer com certeza qual será o resultado final. A menos que alguém tenha uma boa habilidade brincando com produtos de funções hipergeométricas confluentes.$n$

Não é nem uma aproximação aproximada. Para pequeno , a expectativa de T é igual a k $n$$T$ enquanto que a expectativa deχ2(k)é igual ak. Quandoké pequeno (menos de 10, digamos), os histogramas delog(T)e delog(χ2(k))nem têm a mesma forma, indicando queT demudança e reescalonamentoainda não funcionará.$\frac{k n}{n-2}$$\chi^2(k)$$k$$k$$\log(T)$$\log(\chi^2(k))$$T$

Intuitivamente, para pequenos graus de liberdade, o de Student é pesado. A quadratura enfatiza esse peso. Portanto, as somas serão mais distorcidas - geralmente muito mais distorcidas - do que somas de normais ao quadrado (a distribuição do χ 2 ). Cálculos e simulações confirmam isso.$t$$\chi^2$

Ilustração (conforme solicitado)

Cada histograma representa uma simulação independente de 100.000 tentativas com os graus de liberdade especificados ( ) e somatórios ( k ), padronizados conforme descrito por @mpiktas. O valor de n = 9999 na linha inferior se aproxima do caso χ 2 . Assim, você pode comparar T a χ 2 pesquisando cada coluna.$n$$k$$n=9999$$\chi^2$$T$$\chi^2$

Observe que a padronização não é possível para porque os momentos apropriados nem existem. A falta de estabilidade da forma (conforme você escaneia da esquerda para a direita em qualquer linha ou de cima para baixo em qualquer coluna) é ainda mais acentuada para n ≤ 4 .$n \lt 5$$n \le 4$

Eu vou responder a segunda pergunta. O teorema do limite central é para qualquer sequência iid, ao quadrado ou não ao quadrado. Portanto, no seu caso, se for suficientemente grande, temos$k$

$\dfrac{T-kE(t_1)^2}{\sqrt{kVar(t_1^2)}}\sim N(0,1)$

onde e V a r ( t 2 1 ) são respectivamente a média e a variação da distribuição quadrada de Student t com n graus de liberdade. Observe que t 2 1 é distribuído como distribuição F com 1 e n graus de liberdade. Assim, podemos pegar as fórmulas para média e variância na página da Wikipedia . O resultado final é então:$Et_1^2$$Var(t_1^2)$$n$$t_1^2$$1$$n$

$\dfrac{T-k\frac{n}{n-2}}{\sqrt{k\frac{2n^2(n-1)}{(n-2)^2(n-4)}}}\sim N(0,1)$