Variação do retorno anual com base na variação do retorno mensal

Estou tentando entender toda a variação / erro padrão de uma série temporal de retornos financeiros e acho que estou preso. Eu tenho uma série de dados de retorno de estoque mensal (vamos chamá-lo de ), que tem o valor esperado 1,00795 e a variação 0,000228 (std. Dev é 0,01512). Estou tentando calcular o pior caso do retorno anual (digamos que o valor esperado menos o dobro do erro padrão). Qual a melhor maneira de fazê-lo? Um . Calcule-o por um único mês ( ) e multiplique-o 12 vezes (= 0.7630 ). B . Supondo que os meses sejam independentes, defina 12 vezes, encontre seu valor esperadoμ X - 2 ⋅ σ X = 0,977 Y = X ⋅ X ⋅ . . . ⋅ X E [ Y ] = ( E [ X ] ) $X$

$\mu_X-2\cdot \sigma_X=0.977$

$Y=X\cdot X\cdot ...\cdot X$$E[Y]=(E[X])^{12}$) e variância . o dev padrão neste caso é 0,0572, e o valor esperado menos duas vezes o std. dev é 0,9853 . C . Multiplique o std mensal. dev com para obter o anual. usá-lo para encontrar o pior caso anual ( ), que sai como 0,9949 . Qual é o correto? Qual é a maneira correta de calcular o valor anual esperado menos duas vezes o valor padrão, se você conhece essas propriedades apenas para os dados mensais ? (Em geral - se 12 vezes e ,$\operatorname{var}[Y]=(\operatorname{var}[X]+(E[X])^2)^{12} - ((E[X]^2)^{12}$

$\sqrt{12}$$\mu - 2\cdot \sigma$

$Y=X\cdot X\cdot ...\cdot X$$\mu_X$$\sigma_X$são conhecidos, o que é ?)$\mu_Y-2\cdot \sigma_Y$

Se você definir o retorno proporcional como , onde P é o preço, não é incomum com retornos diários simplesmente multiplicar o retorno proporcional por 250 (número de dias úteis) em um ano) e o desvio padrão de $\Delta P/P = (P_{t+1}-P_t)/P_t$$P$$250$ para anualizá-los. Isto corresponde ao seu casoC. O ponto aqui éredimensionarpara que um número anual significativo possa serrelatado apartir de números diários (mas você não usaria isso para comparar rigorosamente as métricas derivadas diariamente com as derivadas mensais). Em geral, você faria todos os seus cálculos e tomaria todas as suas decisões na frequência em que coletou seus dados (mensalmente, no seu caso).$\sqrt{250}$

A abordagem teoricamente correta é usar retornos de log = (usando logs naturais). A fórmula para a expectativa de uma soma de variáveis ​​aleatórias pode ser usada corretamente, porque a soma dos retornos do log é o log do produto dos retornos.$\log(P_{t+1}/P_t)$

Além disso, se você usar retornos de log, o Teorema do Limite Central fornece alguma justificativa teórica de que os retornos do log são normalmente distribuídos (essencialmente, o Teorema do Limite Central diz que a soma das variáveis ​​independentes tende a uma distribuição normal à medida que o número de variáveis ​​aleatórias na soma aumenta ) Isso permite que você atribua uma probabilidade de obter um retorno menor que (a probabilidade é dada pela função de distribuição cumulativa para a distribuição normal: Φ ( - 2 ) ≃ 0,023 $\mu - 2\sigma$$\Phi(-2) \simeq 0.023)$. Se os retornos do log são normalmente distribuídos, dizemos que os retornos são distribuídos normalmente - esse é um dos pressupostos usados ​​derivando a famosa fórmula de precificação de opções do Black Scholes.

Uma coisa a observar é que, quando um retorno proporcional é pequeno, o retorno proporcional é aproximadamente igual aos retornos do log. A razão para isso é que a série de Taylor para o logaritmo natural é dada por $\log(1+x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \ldots$$x$$x^2$$x^3$$n$$\sqrt{n}$

Você deve encontrar mais informações na web. Por exemplo, tentei procurar por "retornos de log" para atualizar minha memória, e o primeiro hit pareceu muito bom.

$n$$\sigma$$\sqrt{n}\sigma$$\mu_X$$\sigma_X$$n$$n$$\sqrt{n}$

Um ponto sutil, mas importante, como observado no comentário do @ whuber, é que a regra (ii) requer correlação, que no caso de séries temporais significa que não há correlação serial (geralmente verdadeira, mas vale a pena checar). O requisito de independência é válido nos casos de retorno proporcional e log.

(Eu não vi o caso B , o produto de variáveis ​​aleatórias, antes. Não acho que essa abordagem seja comumente usada. Não analisei detalhadamente seus cálculos, mas seus números parecem corretos e a fórmula pode ser encontrado na wikipedia . na minha opinião esta abordagem parece muito mais complicado do que qualquer um à aproximação envolvido no uso retornos proporcionais ou a abordagem teoricamente som de usar log retornos. E, em comparação ao uso de log retornos, o que você pode dizer sobre a distribuição de Y? Como você pode atribuir probabilidades ao seu pior retorno, por exemplo?)