Correlações atingíveis para variáveis ​​aleatórias exponenciais

Qual é o intervalo de correlações atingíveis para o par de variáveis ​​aleatórias distribuídas exponencialmente e X 2 ∼ E x p ( λ 2 ) , onde λ 1 , λ 2 > 0 são os parâmetros de taxa?$X_1 \sim {\rm Exp}(\lambda_1)$$X_2 \sim {\rm Exp}(\lambda_2)$$\lambda_1, \lambda_2 > 0$

Seja (resp. Ρ max ) denotar o limite inferior (resp. Superior) da correlação atingível entre X 1 e X 2 . Os limites ρ min e ρ max são atingidos quando X 1 e X 2 são respectivamente contramonotônicos e comonotônicos (veja aqui ).$\rho_{\min}$$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$$\rho_{\min}$$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$

Limite inferior
Para determinar o limite inferior , construímos um par de variáveis ​​exponenciais contramonotônicas e calculamos sua correlação.$\rho_{\min}$

A condição necessária e suficiente mencionada aqui e a transformação integral de probabilidade fornecem uma maneira conveniente de construir as variáveis ​​aleatórias e X 2, de modo que elas sejam contramonotônicas. Lembre-se de que a função de distribuição exponencial é F ( x ) = 1 - exp ( - λ x ) , portanto, a função quantil é F - 1 ( q ) = - λ - 1 log ( 1 $X_1$$X_2$
$F(x) = 1 - \exp(-\lambda x)$ .$F^{-1}(q) = -\lambda^{-1}\log (1-q)$

Seja uma variável aleatória uniformemente distribuída, então 1 - U também é uniformemente distribuída e as variáveis ​​aleatórias X 1 = - λ - 1 1 log ( 1 - U ) $U\sim U(0, 1)$$1-U$ têm a distribuição exponencial com as taxas λ 1 e λ 2 respectivamente. Além disso, são contramonotônicos, já que X 1 = h 1 ( U ) e X 2 = h 2 ( U ) e as funções h 1 ( x ) = - λ - 1 1 log

$$X_1 = -\lambda_1^{-1}\log (1-U), \quad \text{and } X_2 = -\lambda_2^{-1}\log (U)$$ $\lambda_1$$\lambda_2$$X_1 = h_1(U)$$X_2 = h_2(U)$ e h 2 ( x ) = - λ - 1 1 log ( x ) estão respectivamente aumentando e diminuindo.$h_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$$h_2(x)=-\lambda_1^{-1}\log (x)$

Agora, vamos calcular a correlação de e X 2 . Pelas propriedades da distribuição exponencial, temos E ( X 1 ) = λ - 1 1 , E ( X 2 ) = λ - 1 2 , v a r ( X 1 ) = λ - 2 1 e v a r ( X 2 ) = λ - $X_1$$X_2$${\rm E}(X_1) = \lambda_1^{-1}$${\rm E}(X_2) = \lambda_2^{-1}$${\rm var}(X_1) = \lambda_1^{-2}$ . Além disso, temos E ( X 1 X 2${\rm var}(X_2) = \lambda_2^{-2}$ ondefU(u)≡1é a função de densidade da distribuição uniforme padrão. Para a última igualdade,conteicom oWolframAlpha.

$$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) f_U(u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \left (2 - \frac{\pi^2}{6} \right ), \end{align}$$ $f_U(u) \equiv 1$

Assim,

$$\begin{align} \rho_{\min} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} (2 - \pi^2/6 ) - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 - \pi^2/6 \approx −0.645. \end{align}$$ $\lambda_1$$\lambda_2$$-1$$\lambda_1 = \lambda_2$

$\rho_{\max}$$X_1 = g_1(U)$$X_2 = g_2(U)$$g_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$$g_2(x)=-\lambda_2^{-1}\log (1-x)$$\lambda_1$$\lambda_2$

$$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (1-U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \left\{\log (1-u) \right\}^2 {\rm d}u \\ &= 2 \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} , \end{align}$$ $$\begin{align} \rho_{\max} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ 2\lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 . \end{align}$$ $\lambda_1$$\lambda_2$