soma das variáveis aleatórias qui-quadrado não centrais

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Preciso encontrar a distribuição da variável aleatória

Y = \sum_{Eu = 1}^{n} (X_{Eu})^{2}

$Y=\sum_{i=1}^{n}(X_i)^2$ onde

X_{i} \sim N (μ_{i}, σ_{i}^{2})

$X_i\sim{\cal{N}}(\mu_i,\sigma^2_i)$ e todos os

X_{i}

$X_i$ s são independentes. Eu sei que é possível a primeira a encontrar o produto de todas as funções de geração de momento para a

X_{i}

$X_i$ s, e depois transformar de volta para obter

Y

$Y$ distribuição 's. No entanto, gostaria de saber se existe uma forma geral para

Y

$Y$ como no caso gaussiano: sabemos que a soma de gaussianos independentes ainda é gaussiana e, portanto, precisamos apenas conhecer a média somada e a variação somada.

E quanto a todos ? Essa condição criará uma solução geral? $\sigma^2_i=\sigma^2$

— armadilha
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1

Olhando para o primeiro parágrafo sob aqui , claramente a condição final produz um não central divide qui-quadrado (escalonado através de

(o fator de escala que você toma a frente) e fazer

em

). A forma mais geral com a qual você começou parece uma combinação linear ou média ponderada em escala, com coeficientes

vez de uma soma simples de quadrados em escala ... e acredito que geralmente não terá a distribuição necessária.

σ^{2}

$\sigma^2$

σ_{i} = 1

$\sigma_i=1$

\sum_{i = 1}^{k} (X_{i} / σ_{i})^{2}

$\sum_{i=1}^k (X_i/\sigma_i)^2$

σ_{i}^{2}

$\sigma^2_i$

— O que você precisa saber é o seguinte

Dependendo do que você precisa, em casos específicos, você poderá fazer convolução numérica ou simulação.

— Glen_b -Reinstala Monica

Isso é generalizado pela distribuição da 'soma ponderada de qui-quadrado de log para energia'. Meu pacote R sadistsfornece funções aproximadas de 'dpqr' para

; cf github.com/shabbychef/sadists

Y

$Y$

— shabbychef

17

Como Glen_b observou nos comentários, se as variações forem todas iguais, você terá um qui-quadrado não-central dimensionado.

Caso contrário, existe o conceito de uma distribuição qui-quadrado generalizada , ou seja, para e fixo. Neste caso, você tem o caso especial de diagonal ( ), e . $x^T A x$ $x \sim N(\mu, \Sigma)$ $A$ $\Sigma$ $\Sigma_{ii} = \sigma_i^2$ $A = I$

Houve algum trabalho em calcular coisas com esta distribuição:

Imhof (1961) e Davies (1980) invertem numericamente a função característica.
Sheil e O'Muircheartaigh (1977) escrevem a distribuição como uma soma infinita de variáveis qui-quadrado ao quadrado.
Kuonen (1999) fornece uma aproximação do ponto de sela ao pdf / cdf.
Liu, Tang e Zhang (2009) aproximam-no com uma distribuição qui-quadrado não central com base na correspondência cumulante.

Você também pode escrevê-lo como uma combinação linear de variáveis qui-quadrado não centrais independentes , caso em que: $Y = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \left( \frac{X_i^2}{\sigma_i^2} \right)$

Castaño-Martínez e López-Blázquez (2005) fazem uma expansão de Laguerre para o pdf / cdf.

Bausch (2013) fornece um algoritmo computacionalmente mais eficiente para a combinação linear de qui-quadrado central; seu trabalho pode ser extensível a qui-quadrados não centrais, e você pode encontrar algumas dicas interessantes na seção de trabalhos relacionados.

— Dougal
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2

Uma comparação dos métodos de aproximação é encontrada em Duchesne et al. 2010. Estatística Computacional e Análise de Dados, 54, 858–862. Os autores mantêm o pacote R CompQuadForm com implementações.

— Caracal

-10

Será o qui-quadrado de n grau de liberdade.

— Ahmed
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6

Eu acredito que você ignorou que o

μ_{i}

$\mu_i$

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