Existe uma lei que diz que se você fizer julgamentos suficientes, coisas raras acontecem?


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Estou tentando fazer um vídeo sobre dados carregados e, em um ponto do vídeo, rolamos cerca de 200 dados, pegamos todos os seis, rolamos novamente, pegamos todos os seis e rolamos pela terceira vez. Tivemos um dado que apareceu 6 três vezes seguidas, o que obviamente não é incomum, porque deve haver uma chance de 1/216 disso acontecer e tivemos cerca de 200 dados. Então, como explico que isso não é incomum? Não parece bem a Lei dos Grandes Números. Quero dizer algo como "Se você fizer testes suficientes, até coisas improváveis ​​acontecerão", mas meu parceiro disse que as pessoas podem ter problemas com a terminologia "vinculada a".

Existe uma maneira padrão de declarar esse conceito?



A probabilidade p = 1 / n significa basicamente que você tem 1 sucesso por n tirais. É isso que significa e é assim que é verificado. Se você não obtiver 1 sucesso por n experimentos, relate-nos uma probabilidade errada. Agora, você diz que n é grande. Mas qual é a diferença quando você também diz que pode fazer muito mais experimentos que n? Quero dizer que você não precisa de nenhuma lei além da definição de probabilidade. Estou mais interessado em saber por que a probabilidade de ter sucesso em n ensaios não é 1?
Val

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@Val Seus comentários devem ser lidos de uma maneira peculiar para não serem mal interpretados! Quando a probabilidade de um evento é , é provável que esse evento não seja observado em n ensaios independentes. (A probabilidade de não observá-lo é próxima de 1 / e ± 0,37 para n grande ). Então você parece estar errado sobre sua afirmação em relação à verificação de probabilidades raras. Eu acho que você erra ao combinar probabilidades com frequências: elas definitivamente diferem, tanto conceitualmente quanto na prática. 1/nn1/e0.37n
whuber

Meu sucesso = sua observação. Não entendo por que você começou a reinterpretar essa afirmação precisamente clara e redefinir tudo. Em segundo lugar, embora eu sempre acreditei que a probabilidade é algo teórico (computado combinatoricamente na teoria da probabilidade), enquanto a frequência é sua confirmação estatística (isto é, experimental), a lei dos grandes números diz que a frequência converge para a probabilidade de probabilidade em grande número de experimentos e não vejo motivo para destacar a diferença, pelo menos nesse caso.
Val

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Eu não entendo seus dois últimos comentários. Estou interpretando as palavras que você usa do que acredito serem maneiras padrão. Em particular, estou destacando o fato de que a probabilidade não é a mesma que a frequência observada, que é o que sua primeira frase parece dizer. Quando uma probabilidade é1/n , a propósito, então não é um "grande número de experimentos", por qualquer meio: haverá grandes desvios entre as frequências observadas e as probabilidades subjacentes. Isso não está relacionado a nenhuma consideração de valores duplicados. n
whuber

Respostas:



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Você pode explicar que, mesmo como um evento especificado a priori , a probabilidade de ocorrer não é baixa. Na verdade, não é tão difícil calcular a probabilidade de três ou mais jogadas de seis em uma fileira para pelo menos um dado em cada 200.

[Aliás, há um bom cálculo aproximado que você pode usar - se você tiver tentativas, há uma probabilidade de 1 / n de 'sucesso' (para n não muito pequeno), a chance de pelo menos um 'sucesso' é de aproximadamente 1 - 1 / e . De uma maneira mais geral, para os testes k n , a probabilidade é de cerca de 1 - e - k . No seu caso, você está olhando para m = k n tentativas para uma probabilidade de 1 / n onde n = 216 e mn1/nn11/ekn1ekm=kn1/nn=216 , então k = 200 / 216 , dando uma probabilidade de cerca de 60% que você verá 3 sixes em uma linha, pelo menos uma vez fora dos 200 conjuntos de 3 rolos.m=200k=200/216

Não sei se esse cálculo específico tem um nome específico, mas a área geral de eventos raros com muitos ensaios está relacionada à distribuição de Poisson. De fato, a própria distribuição de Poisson às vezes é chamada de " lei dos eventos raros " e, ocasionalmente, " lei dos pequenos números " (com "lei" nesses casos significa "distribuição de probabilidade").]

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No entanto, se você não especificou esse evento específico antes da rolagem e apenas disse depois ' Ei, uau, quais são as chances disso? ', seu cálculo de probabilidade está errado, porque ignora todos os outros eventos sobre os quais você diria' Ei, uau, quais são as chances disso? '

Você especificou o evento apenas depois de observá-lo, para o qual 1/216 não se aplica, mesmo com apenas um dado.

Imagine que eu tenho um carrinho de mão cheio de dados pequenos, mas distinguíveis (talvez eles tenham poucos números de série) - digamos que eu tenha dez mil deles. Eu tiro o carrinho de mão cheio de dados:

die #    result
00001      4
00002      1
00003      5
 .         .
 .         .
 .         .
09999      6
10000      6

... e eu digo "Ei! Uau , quais são as chances de eu ter '4' no dado 1 e '1' no dado 2 e ... e '6' no dado 999 e '6' no dado # 10000? "

Essa probabilidade é ou cerca de3,07×10-7782. Esse é um evento surpreendentemente raro! Algo incrível deve estar acontecendo. Deixe-me tentar de novo. Coloco todos eles de volta e tiro o carrinho de mão novamente. Mais uma vez eu digo "ei, uau, quais são as chances?" e,novamente, acontece que tenho um evento de tão surpreendente raridade que só deve acontecer uma vez na vida de um universo ou algo assim. E aí?16100003.07×107782

Simplesmente, não estou fazendo nada além de tentar calcular a probabilidade de um evento especificado após o fato, como se tivesse sido especificado a priori . Se você fizer isso, obtém respostas malucas.


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Você sabe, a coisa mais incrível aconteceu comigo esta noite. Eu estava vindo para cá, a caminho da palestra, e entrei no estacionamento. E você não vai acreditar no que aconteceu. Vi um carro com a placa ARW 357. Você consegue imaginar? De todos os milhões de placas no estado, qual era a chance de ver aquela em particular hoje à noite? Surpreendente! - Richard Feynman .
Gerrit 19/08/2013

Não é isso que o OP está perguntando. Isso é mais parecido com o "princípio antrófico" (existe um termo mais genérico para isso?), Enquanto o termo que o OP está pedindo é mais parecido com a "lei dos números realmente grandes"?
Lie Ryan

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@LieRyan Se a pergunta do OP contiver um erro de raciocínio implícito, ao qual um cálculo de probabilidade comum não deve ser aplicado, seria errado não apontar isso claramente. De fato, mesmo se houver apenas uma boa possibilidade de que esse problema exista, ele deve ser claramente apontado. Como não havia indícios de que o evento fosse de fato especificado antes da observação, ele precisa ser destacado. Os detalhes necessários para explicar exatamente por que é um problema levam mais do que algumas frases. Eu falo com a pergunta direta no meu primeiro parágrafo, mas depois explico por que há um problema.
Glen_b -Reinstala Monica

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Apenas para esclarecimento, foi a priori.
Cassandra Gelvin

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Penso que sua afirmação "Se você fizer testes suficientes, mesmo coisas improváveis ​​provavelmente acontecerão", seria melhor expressa como "Se você fizer testes suficientes, é provável que coisas improváveis ​​ocorram". "obrigado a acontecer" é um pouco definido demais para um problema de probabilidade e acho que a associação improvável com provável nesse contexto faz o ponto que você está tentando adotar.


Eu discordo, "obrigado a acontecer" está correto. A menos que o dado é manipulado para evitar o evento improvável, então ele vai acontecer. Se isso não acontecer, você simplesmente não fez testes suficientes, ou isso não é "coisas improváveis", mas "coisas impossíveis".
Lie Ryan

Tecnicamente falando, um evento só "acontecerá" se você tentar um número infinito de vezes; é uma assíntota. Probabilidade não tem memória; em teoria, eu poderia jogar uma moeda justa a cada segundo a partir de agora até a morte pelo calor do universo e só conseguir cara. Tomado como um todo, é um evento muito improvável, mas cada flip ainda tem uma chance de 50/50, então em nenhum momento se torna certo que eu vou ter coroa. Da mesma forma, mesmo com um grande número de tentativas, esse evento improvável ainda é improvável para qualquer tentativa única - pode nunca acontecer.
Anaximander

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Obviamente, isso pressupõe que você conhece as probabilidades de seus eventos. No mundo real, depois de um certo número de tentativas, você precisa ressaltar que seus cálculos oferecem 99,999% de chance de ver o evento improvável pelo menos uma vez até agora, e você ainda não o viu, por isso talvez seja menos provável do que você pensou (ou talvez até impossível).
precisa saber é o seguinte

0 0q<1nnqεn>registro(1-q)/registro(1-ε) e faça o cálculo (elementar).
whuber

1

I think what you need is a zero-one law. The most famous of these is the Kolmogorov Zero-One Law, which states that any event in the event space we're interested in will either eventually occur with probability 1 or never occur with probability 1. That is to say, there is no grey area of events that may happen.


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I believe Kolmogorov's law applies only to tail events, not to "any event ... we're interested in." You might be able to apply this law to general events to shed light on the question, but some explanation of how to do that would be helpful here.
whuber

This is a good comment: I think the precise definition of tail event is exactly what we're looking for to solve this. I'll do some research on it.
owensmartin
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