A amostragem negativa altera os coeficientes de regressão logística?

Se eu tiver um conjunto de dados com uma classe positiva muito rara e fizer uma amostragem negativa da classe negativa e executar uma regressão logística, preciso ajustar os coeficientes de regressão para refletir o fato de que alterei a prevalência da classe positiva?

Por exemplo, digamos que eu tenha um conjunto de dados com 4 variáveis: Y, A, B e C. Y, A e B são binários, C é contínuo. Para 11.100 observações Y = 0 e para 900 Y = 1:

set.seed(42)
n <- 12000
r <- 1/12
A <- sample(0:1, n, replace=TRUE)
B <- sample(0:1, n, replace=TRUE)
C <- rnorm(n)
Y <- ifelse(10 * A + 0.5 * B + 5 * C + rnorm(n)/10 > -5, 0, 1)

Ajustei uma regressão logística para prever Y, dados A, B e C.

dat1 <- data.frame(Y, A, B, C)
mod1 <- glm(Y~., dat1, family=binomial)

No entanto, para economizar tempo, eu poderia remover 10.200 observações não-Y, fornecendo 900 Y = 0 e 900 Y = 1:

require('caret')
dat2 <- downSample(data.frame(A, B, C), factor(Y), list=FALSE)
mod2 <- glm(Class~., dat2, family=binomial)

Os coeficientes de regressão dos 2 modelos são muito semelhantes:

> coef(summary(mod1))
              Estimate Std. Error   z value     Pr(>|z|)
(Intercept) -127.67782  20.619858 -6.191983 5.941186e-10
A           -257.20668  41.650386 -6.175373 6.600728e-10
B            -13.20966   2.231606 -5.919353 3.232109e-09
C           -127.73597  20.630541 -6.191596 5.955818e-10
> coef(summary(mod2))
              Estimate  Std. Error     z value    Pr(>|z|)
(Intercept) -167.90178   59.126511 -2.83970391 0.004515542
A           -246.59975 4059.733845 -0.06074284 0.951564016
B            -16.93093    5.861286 -2.88860377 0.003869563
C           -170.18735   59.516021 -2.85952165 0.004242805

O que me leva a acreditar que a amostragem não afetou os coeficientes. No entanto, este é um exemplo único e artificial, e eu prefiro ter certeza.

logistic unbalanced-classes case-control-study

— Zach
fonte

A interceptação à parte, você está estimando os mesmos parâmetros populacionais ao fazer uma amostragem reduzida, mas com menos precisão - exceto a interceptação, que você pode estimar quando conhece a prevalência da resposta da população. Veja Hosmer & Lemeshow (2000), Regressão Logística Aplicada , Cap. 6.3, para uma prova. Às vezes, você pode introduzir a separação, embora não seja comum, ao analisar a resposta da maioria.

— Scortchi - Restabelece Monica

@ Scortchi Poste seu comentário como resposta - isso parece suficiente para a minha pergunta. Obrigado pela referência.

— Zach

@ Scortchi e Zach: De acordo com o modelo de amostragem reduzida ( mod2), Pr(>|z|)pois Aé quase 1. Não podemos rejeitar a hipótese nula de que o coeficiente Aé 0, por isso perdemos uma covariável usada em mod1. Não é uma diferença substancial?

— Zhubarb

@Zhubarb: Como observei, você pode introduzir a separação, tornando as estimativas de erro padrão da Wald completamente não confiáveis.

— Scortchi - Restabelece Monica

Veja também Scott 2006

— StasK

A amostragem descendente é equivalente aos projetos de controle de caso nas estatísticas médicas - você está corrigindo as contagens de respostas e observando os padrões de covariáveis (preditores). Talvez a referência principal seja Prentice & Pyke (1979), "Modelos de incidência de doenças logísticas e estudos de controle de casos", Biometrika , 66 , 3.

Eles usaram o Teorema de Bayes para reescrever cada termo com a probabilidade de um determinado padrão covariável, dependente de ser um caso ou controle como dois fatores; um representando uma regressão logística comum (probabilidade de ser um caso ou controle condicional a um padrão covariável) e o outro representando a probabilidade marginal do padrão covariável. Eles mostraram que maximizar a probabilidade geral sujeita à restrição de que as probabilidades marginais de ser um caso ou controle são fixadas pelo esquema de amostragem fornece as mesmas estimativas de odds ratio que maximizar o primeiro fator sem restrição (ou seja, realizar uma regressão logística comum) .

$\beta_0^*$ $\hat{\beta}_0$ $\pi$

{\hat{β}}_{0 0}^{*} = {\hat{β}}_{0 0} - registro (\frac{1 1 - π}{π} \cdot \frac{n_{1 1}}{n_{0 0}})

$\hat{\beta}_0^* = \hat{\beta}_0 - \log\left( \frac{1-\pi}{\pi}\cdot \frac{n_1}{n_0}\right)$

$n_0$ $n_1$

É claro que ao jogar fora os dados que você teve o trabalho de coletar, embora a parte menos útil, você está reduzindo a precisão de suas estimativas. Restrições em recursos computacionais são a única boa razão que conheço para fazer isso, mas menciono isso porque algumas pessoas parecem pensar que "um conjunto de dados balanceado" é importante por outra razão que nunca fui capaz de verificar.

— Scortchi - Restabelecer Monica
fonte

Obrigado pela resposta detalhada. E sim, a razão pela qual estou fazendo isso executando o modelo completo (sem amostragem reduzida) é computacionalmente proibitiva.

— Zach

Caro @ Scortchi, obrigado pela explicação, mas em um caso em que eu quero usar a regressão logística, o conjunto de dados balanceado parece necessário, independentemente dos recursos computacionais. Tentei usar o "logit viável de probabilidade penalizada reduzida de Firth" sem sucesso. Então, aparentemente, a amostragem para baixo é a única alternativa para mim, certo?

— Shahin 22/09

@ Shahin Bem, (1) por que você está descontente com uma regressão logística ajustada pela probabilidade máxima? & (2) o que exatamente dá errado usando o método de Firth?

— Scortchi - Restabelece Monica

@ Scortchi, o problema é que o modelo é muito ruim na detecção de successinstâncias. Em outras palavras, TPR muito baixo. Ao alterar o limite, o TPR aumenta, mas a precisão é muito ruim, o que significa que mais de 70% das instâncias rotuladas como positivas são realmente negativas. Li que, nos raros eventos, a regressão logística não funciona bem; é aí que o método de Firth passa a desempenhar, ou pelo menos um dos papéis que ele pode assumir. Mas os resultados do método de Firth eram muito semelhantes ao logit usual. Pensei que poderia estar errado em fazer Firth do, mas aparentemente tudo está bem

— Shahin

@ Shahin: Você parece estar latindo para a árvore errada: a amostragem não vai melhorar a discriminação do seu modelo. A correção ou a regularização de viés podem (em novos dados - você está avaliando seu desempenho em um conjunto de testes?), Mas uma especificação mais complexa pode ajudar, ou pode ser que você precise de preditores mais informativos. Você provavelmente deve fazer uma nova pergunta, fornecendo detalhes dos dados, o contexto do assunto, o modelo, o diagnóstico e seus objetivos.

— Scortchi - Restabelece Monica