Autocovariância de um processo ARMA (2,1) - derivação do modelo analítico para

Preciso derivar expressões analíticas para a função de autocovariância $\gamma\left(k\right)$ de um processo ARMA (2,1) indicado por:

$y_t=\phi_1y_{t-1}+\phi_2y_{t-2}+\theta_1\epsilon_{t-1}+\epsilon_t$

Então, eu sei que:

$\gamma\left(k\right) = \mathrm{E}\left[y_t,y_{t-k}\right]$

para que eu possa escrever:

$\gamma\left(k\right) = \phi_1 \mathrm{E}\left[y_{t-1}y_{t-k}\right]+\phi_2 \mathrm{E}\left[y_{t-2}y_{t-k}\right]+\theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-k}\right]+\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-k}\right]$

então, para derivar a versão analítica da função de autocovariância, preciso substituir valores de - 0, 1, 2 ... até obter uma recursão válida para todos os k maiores que algum número inteiro.$k$$k$

Portanto, substituo e resolvo isso para obter:$k=0$

$$\gamma \left(0\right) = \mathrm{E}\left[y_t,y_t\right] = \phi_1 \mathrm{E}\left[y_{t-1}y_t\right] + \phi_2 \mathrm{E}\left[y_{t-2}y_t\right]+\theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_t\right]+\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_t\right]\\ $$

agora eu posso simplificar os dois primeiros termos e substituir como antes:$y_t$

$$\gamma\left(0\right) = \phi_1 \gamma\left(1\right) + \phi_2 \gamma\left(2\right)\\ + \theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1} \left(\phi_1 y_{t-1} +\phi_2 y_{t-2} +\theta_1 \epsilon_{t-1} + \epsilon_t \right)\right]\\ + \mathrm{E}\left[\epsilon_t \left(\phi_1 y_{t-1} +\phi_2 y_{t-2} +\theta_1 \epsilon_{t-1} + \epsilon_t \right)\right]$$

então multiplico os oito termos, que são:

$$+\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]\\ +\theta_1\phi_2\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-2}\right]\\ +\theta_1^2\mathrm{E}\left[\left(\epsilon_{t-1}\right)^2\right]=\theta_1^2\sigma_{\epsilon}^2\\ +\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\epsilon_{t}\right]=\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}\right]=0\\ +\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-1}\right]\\ +\phi_2\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-2}\right]\\ +\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_t\epsilon_{t-1}\right] = \theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}\right]\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0 \\ +\mathrm{E}\left[\left(\epsilon_t\right)^2\right] = \sigma_{\epsilon}^2$$

Portanto, estou precisando resolver os quatro termos restantes. Quero usar a mesma lógica para as linhas 1, 2, 5 e 6 que usei nas linhas 4 e 7 - por exemplo, para a linha 1:

porque E [ ϵ t - 1 ] = 0 .$\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[y_{t-1}\right] = 0$$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0$

Da mesma forma para as linhas 2, 5 e 6. Mas eu tenho uma solução de modelo que sugere que a expressão para simplifica para:$\gamma\left(0\right)$

$\gamma\left(0\right) = \phi_1\gamma\left(1\right)+\phi_2\gamma\left(2\right) +\theta_1\left(\phi_1+\theta_1\right)\sigma_{\epsilon}^2+\sigma_{\epsilon}^2$

Isso sugere que minha simplificação, conforme descrito acima, perderia o termo com o coeficiente - que, na minha lógica, deveria ser 0. A minha lógica está errada ou a solução de modelo que achei incorreta?$\phi_1$

A solução trabalhada também sugere que "analogamente" pode ser encontrado como:$\gamma\left(1\right)$

$\gamma\left(1\right) = \phi_1\gamma\left(0\right)+\phi_2\gamma\left(1\right) + \theta_1\sigma_{\epsilon}^2$

e para :$k>1$

$\gamma\left(k\right) = \phi_1\gamma\left(k-1\right)+\phi_2\left(k-2\right)$

Espero que a pergunta seja clara. Qualquer assistência será muito apreciada. Agradeço antecipadamente.

Esta é uma pergunta relacionada à minha pesquisa e não está em preparação para nenhum exame ou curso.

Se o processo ARMA é causal, existe uma fórmula geral que fornece os coeficientes de autocovariância.

$\text{ARMA}(p,q)$ process

$$y_t = \sum_{i = 1}^p \phi_i y_{t-1} + \sum_{j = 1}^q \theta_j \epsilon_{t - j} + \epsilon_t,$$ where $\epsilon_t$ is a white noise with mean zero and variance $\sigma_\epsilon^2$. By the causality property, the process can be written as $$y_t = \sum_{j = 0}^\infty \psi_j \epsilon_{t - j},$$ where $\psi_j$ denotes the $\psi$-weights.

The general homogeneous equation for the autocovariance coefficients of a causal $\text{ARMA}(p,q)$ process is

$$\gamma (k) - \phi_1 \gamma (k-1) - \cdots - \phi_p \gamma (k-p) = 0, \quad k \geq \max (p, q+1),$$ with initial conditions $$\gamma (k) - \sum_{j = 1}^p \phi_j \gamma (k-j) = \sigma_\epsilon^2 \sum_{j = k}^q \theta_j \psi_{j - k}, \quad 0 \leq k < \max (p, q+1).$$

Your calculation mistake in your original question lies in

$$\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[y_{t-1}\right] = 0 \qquad \text{(mistaken)}$$

You cannot separate the expectation $\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]$ - $\epsilon_{t-1}$ and $y_{t-1}$ are not independent.

OK. So the process of writing the post actually pointed me to the solution.

Consider the Expectation terms 1, 2, 5 and 6 from above that I thought should be 0.

Immediately for terms 5 - $\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_{t-1}\right]$ - and 6 - $\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_{t-2}\right]$: these terms are definitely zero, because $y_{t-1}$ and $y_{t-2}$ are independent of $\epsilon_t$ and $\mathrm{E}\left[\epsilon_t\right] = 0$.

However, terms 1 and 2 look as though the Expectation is of two correlated variables. So, consider the expressions for $y_{t-1}$ and $y_{t-2}$ thus:

$$y_{t-1} = \phi_1y_{t-2}+\phi_2y_{t-3}+\theta_1\epsilon_{t-2}+\epsilon_{t-1}\\ y_{t-2} = \phi_1y_{t-3}+\phi_2y_{t-4}+\theta_1\epsilon_{t-3}+\epsilon_{t-2}$$

And recall term 1 - $\phi_1\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]$. If we multiply both sides of the expression for $y_{t-1}$ by $\epsilon_{t-1}$ and then take Expectations, it is clear that all terms on the right hand side except the last become zero (because the values of $y_{t-2}$, $y_{t-3}$, and $\epsilon_{t-2}$ are independent of $\epsilon_{t-1}$ and $\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0$) to give:

$$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \mathrm{E}\left[\left(\epsilon_{t-1}\right)^2\right] = \sigma_{\epsilon}^2$$

So term 1 becomes $+\phi_1\theta_1\sigma_{\epsilon}^2$. For term 2, it should be clear that, by the same logic, all terms are zero.

Hence the original model answer was correct.

However, if anyone can suggest an alternative way to obtain a general (even if messy) solution, I would be very pleased to hear it!