Estimador de máxima verossimilhança - intervalo de confiança

Como posso construir um intervalo de confiança assintótica para um parâmetro real, iniciando no MLE para esse parâmetro?

— Fabrizio
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Uma maneira de abordar esse problema é usar o método delta: en.wikipedia.org/wiki/Delta_method

Notei há votações para fechar esta questão muito ampla, mas não é um teorema geral sobre o comportamento assintótico de mles que podem ser sucintamente. Eu coloquei uma resposta concisa que vou expandir um pouco mais tarde.

— Scortchi - Restabelece Monica

Use o fato de que, para uma amostra iid de tamanho , dadas algumas condições de regularidade, o MLE é um estimador consistente do parâmetro verdadeiro e sua distribuição assintoticamente Normal, com variação determinada pelo inverso do parâmetro Informações de Fisher: $n$ $\hat{\theta}$ $\theta_0$

\sqrt{n} (\hat{θ} - θ_{0}) \to N (0, \frac{1}{I_{1} (θ_{0})})

$\sqrt{n}\left(\hat{\theta}-\theta_0\right) \rightarrow \mathcal{N}\left(0,\frac{1}{\mathcal{I}_1(\theta_0)}\right)$ onde é a informação de Fisher de uma única amostra. As informações observadas no MLE tendem às informações esperadas assintoticamente, para que você possa calcular (digamos 95%) os intervalos de confiança com

I_{1} (θ_{0})

$\mathcal{I}_1(\theta_0)$

I (\hat{θ})

$I(\hat{\theta})$

\hat{θ} \pm \frac{1.96}{\sqrt{n I_{1} (\hat{θ})}}

$\hat{\theta} \pm \frac{1.96}{\sqrt{nI_1\left(\hat\theta\right)}}$

Por exemplo, se é uma variável Poisson truncada com zero, você pode obter uma fórmula para as informações observadas em termos do MLE (que você deve calcular numericamente): $X$

f (x) = \frac{e^{- θ} θ^{x}}{x! (1 - e^{- θ})}

$\newcommand{\e}{\mathrm{e}}\newcommand{\d}{\operatorname{d}}f(x) = \frac{\e^{-\theta}\theta^x}{x!(1-e^{-\theta})}$

ℓ (θ) = - θ + x \log θ - \log (1 - e^{- θ})

$\ell(\theta)=-\theta+ x\log\theta -\log(1-\e^{-\theta})$

\frac{d ℓ (θ)}{d θ} = - 1 + \frac{x}{θ} - \frac{e^{- θ}}{1 - e^{- θ}}

$\frac{\d\ell(\theta)}{\d\theta} = -1 +\frac{x}{\theta} - \frac{\e^{-\theta}}{1-\e^{-\theta}}$

I_{1} (\hat{θ}) = - \frac{d^{2} ℓ (\hat{θ})}{{(d \hat{θ})}^{2}} = \frac{x}{\hat{θ}} - \frac{e^{- \hat{θ}}}{{(1 - e^{- \hat{θ}})}^{2}}

$I_1\left(\hat{\theta}\right)=-\frac{\d^2\ell\left(\hat\theta\right)}{\left(\d\hat\theta\right)^2} = \frac{x}{\hat\theta} - \frac{\e^{-\hat\theta}}{\left(1-\e^{-\hat{\theta}}\right)^2}$

Casos notáveis excluídos pelas condições de regularidade incluem aqueles em que

o parâmetro determina o suporte dos dados, por exemplo, amostragem de uma distribuição uniforme entre nada e $\theta$ $\theta$
o número de parâmetros incômodos aumenta com o tamanho da amostra

— Scortchi - Restabelecer Monica
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Esse método se aplica sem modificações quando há restrições em , por exemplo, ? Que tal um MLE para parâmetros , tal que e ?

θ

$\theta$

θ \in [0, 1]

$\theta \in [0, 1]$

N

$N$

θ_{i}

$\theta_i$

i = 0, . . ., N - 1

$i=0,...,N-1$

\sum_{i = 0}^{N - 1} θ_{i} = 1

$\sum_{i=0}^{N-1} \theta_i = 1$

θ_{i} \in [0, 1]

$\theta_i \in [0,1]$

— 5134148_04_03_03-de-

Se , ou seja, o valor verdadeiro não é igual a um dos limites.

θ \in (0, 1)

$\theta \in (0, 1)$

— Scortchi - Restabelece Monica

Se e, não significaria que a aproximação normal não é aplicável e preciso de mais amostras?

θ \in (0, 1)

$\theta \in (0,1)$

σ (\hat{θ}) > | \hat{θ} |

$\sigma(\hat{\theta}) > |\hat{\theta}|$

— Quant_dev 8/12/14

Sim, é apenas um intervalo de confiança assintótica.

— Scortchi - Restabelece Monica

@quant_dev: Não: você procuraria uma transformação dos parâmetros que tornassem a aproximação Normal decente - ou usaria outro método.

— Scortchi - Restabelece Monica