Desenho da distribuição Dirichlet

Digamos que tenhamos uma distribuição de Dirichlet com o parâmetro do vetor dimensional . Como posso desenhar uma amostra (um vetor dimensional ) dessa distribuição? Eu preciso de uma (possivelmente) explicação simples.$K$$\vec\alpha = [\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_K]$$K$

Primeiro, extraia amostras aleatórias independentes das distribuições Gamma, cada uma com densidade$K$$y_1, \ldots, y_K$

e depois defina

Agora, seguirá uma distribuição Dirichlet$x_1,...,x_K$

A página da Wikipedia na distribuição Dirichlet mostra exatamente como obter amostras da distribuição Dirichlet.

Além disso, na Rbiblioteca, MCMCpackhá uma função para amostragem de variáveis ​​aleatórias da distribuição Dirichlet.

Um método simples (embora não exato) consiste em usar o fato de que desenhar uma distribuição de Dirichlet é equivalente ao experimento de urna da Polya. (Desenho de um conjunto de bolas coloridas e cada vez que você desenha uma bola, coloca-a de volta na urna com uma segunda bola da mesma cor)

Considere os parâmetros do Dirichlet como uma distribuição não normalizada sobre i.$\alpha_i$

Então :

repita N vezes

-> desenha um i usando a distribuição multinomial$\alpha_i$

-> adicione 1 a$\alpha_i$

repetição final

Normalize para obter sua distribuição$\alpha$

Se não estou errado, esse método é assintoticamente exato. Mas como N é finito, você NUNCA desenhará algumas distribuições com probabilidades anteriores muito pequenas (enquanto você deve desenhá-las com uma frequência muito pequena). Eu acho que pode ser satisfatório na maioria dos casos com N = K.10.