Exemplo de desigualdade estrita de von Neumann

Deixe- denotam o risco de Bayes de um estimador δ com respeito a um prévio π , deixar Π denotar o conjunto de todos os antecedentes sobre o espaço de parâmetros Θ , e deixar Δ denotar o conjunto de todas as regras de decisão (possivelmente randomizados) .$r(\pi, \delta)$$\delta$$\pi$$\Pi$$\Theta$$\Delta$

A interpretação estatística da desigualdade minimax de John von Neumann afirma que

$$\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) \leq \inf_{\delta\in\Delta}\sup_{\pi\in\Pi} r(\pi, \delta),$$

com estrita igualdade garantida para alguns e π ′ quando Θ e Δ são ambos finitos.$\delta'$$\pi'$$\Theta$$\Delta$

Alguém pode dar um exemplo concreto onde a desigualdade é estrita?

Um exemplo de desigualdade estrita de von Neumann ocorre quando a função de risco satisfaz as seguintes condições para alguns valores r 0 < r 1 (onde o valor anterior é "baixo" e o último é "alto"):$r$$r_0 < r_1$

$$\begin{matrix} \forall \pi \in \Pi, \exists \delta \in \Delta: & & r(\pi, \delta) = r_0, & & (1) \\[8pt] \forall \delta \in \Delta, \exists \pi \in \Pi: & & r(\pi, \delta) = r_1. & & (2) \end{matrix}$$

A primeira condição diz que, independentemente da anterior, sempre existe uma regra de decisão com baixo risco , que fornece sup π ∈ Π inf δ ∈ Δ r ( π , δ ) = r 0 . A segunda condição diz que, independentemente da regra de decisão, sempre existe algum risco anterior r 1 , que fornece inf π ∈ Π sup δ ∈ Δ r ( π , δ ) = r 1 .$r_0$$\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_0$$r_1$$\inf_{\pi\in\Pi} \sup_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_1$

Outra maneira de declarar essa situação é que não existe uma regra de decisão (escolhida antes de ver o prior) que garanta baixo risco para cada prior (às vezes terá alto risco), mas para todo prior, existe alguma regra de decisão (escolhida após ver o anterior) que garante baixo risco. Em outras palavras, para impor um limite baixo ao risco, precisamos adaptar nossa regra de decisão à anterior .

---

Exemplo: Um exemplo simples desse tipo de situação ocorre quando você tem um par de anteriores permitidos e um par de regras de decisão permitidas δ 0 , δ 1 com uma matriz de risco como esta:$\pi_0, \pi_1$$\delta_0, \delta_1$

$$\begin{array}{ll} r(\pi_0, \delta_0) = r_0 & & r(\pi_1, \delta_0) = r_1, \\[6pt] r(\pi_0, \delta_1) = r_1 & & r(\pi_1, \delta_1) = r_0. \\[6pt] \end{array}$$

Nesse caso, não existe uma regra de decisão que garanta baixo risco sobre os dois anteriores, mas para cada anterior existe uma regra de decisão que tem baixo risco. Esta situação satisfaz as condições acima, que conferem uma desigualdade estrita na desigualdade de von Neumann.