Relação entre a faixa e o desvio padrão

Em um artigo, encontrei a fórmula para o desvio padrão de um tamanho de amostra $N$

$\sigma=\frac{\overline{R}}{2.534}$

onde $\overline{R}$ é o intervalo médio de subamostras (tamanho $6$ ) da amostra principal. Como o número $2.534$ é calculado? Esse é o número correto?

Em uma amostra de n valores independentes de uma distribuição F com pdf f , o pdf da distribuição conjunta dos extremos min ( x ) = x [ 1 ] e max ( x ) = x [ n ] é proporcional a$x$$n$$F$$f$$\min(x)=x_{[1]}$$\max(x)=x_{[n]}$

(A constante de proporcionalidade é recíproca do coeficiente multinomial . Intuitivamente, este PDF conjunto expressa a chance de encontrar o menor valor no intervalo[x[1],x[1]+dx[1]), o maior valor no intervalo[x[n],x[n]+dx[n]$\binom{n}{1,n-2,1} = n(n-1)$$[x_{[1]},x_{[1]}+dx_{[1]})$$[x_{[n]},x_{[n]}+dx_{[n]})$e os valores médios entre eles dentro do intervalo [ x [ 1 ] + d x [ 1 ] , x é contínuo, podemos substituir esse intervalo intermediário por ( x [ 1 ] , x [ n ] ] , negligenciando apenas uma quantidade "infinitesimal" de probabilidade. As probabilidades associadas, de primeira ordem nos diferenciais, são f ( x [ 1 $n-2$. QuandoFd x [ 1 ] ,f( x [ n ] )d x [ n $[x_{[1]}+dx_{[1]}, x_{[n]})$$F$$(x_{[1]}, x_{[n]}]$$f(x_{[1]})dx_{[1]},$ e F ( x [ n ] ) - F ( x [ 1 ] ) $f(x_{[n]})dx_{[n]},$$F(x_{[n]})-F(x_{[1]}),$ ., Respectivamente, agora tornando-se óbvio que a fórmula vem)

Tomando a expectativa do intervalo dá 2,53441 σ para qualquer distribuição normal com desvio padrão σ e n = 6 . O intervalo esperado como múltiplo de σ depende do tamanho da amostra n :$x_{[n]} - x_{[1]}$$2.53441\ \sigma$$\sigma$$n=6$$\sigma$$n$

Esses valores foram calculados integrando numericamente sobre{(x,y)∈R2| x≤y}, comFdefinido no CDF normal padrão e dividido pelo desvio padrão deF(que é apenas$\binom{n}{1,n-2,1}\left(y-x\right)H_F(x,y)dxdy$$\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x\le y\}$$F$$F$$1$ ).

Uma relação multiplicativa semelhante entre o intervalo esperado e o desvio padrão será válida para qualquer família de distribuições em escala de localização, porque é uma propriedade apenas da forma da distribuição. Por exemplo, aqui está um gráfico comparável para distribuições uniformes:

e distribuições exponenciais:

Os valores nas duas parcelas anteriores foram obtidos por integração exata - não numérica -, o que é possível devido às formas algébricas relativamente simples de e F em cada caso. Para as distribuições uniformes, eles são iguais a n - $f$$F$$\frac{n-1}{(n+1)}\sqrt{12}$ e para as distribuições exponenciais são ondeγé constante de Euler eψé a função "polygamma", a derivada logarítmica da função Gamma de Euler.$\gamma + \psi(n) = \gamma + \frac{\Gamma'(n)}{\Gamma(n)}$$\gamma$$\psi$

Embora sejam diferentes (porque essas distribuições exibem uma ampla gama de formas), as três concordam aproximadamente em torno de , mostrando que o multiplicador 2,5 não depende muito da forma e, portanto, pode servir como uma avaliação abrangente e abrangente do desvio padrão quando faixas de pequenas subamostras são conhecidas. (De fato, o estudante de cauda muito pesada$n=6$$2.5$distribuição muito t de t com três graus de liberdade ainda tem um multiplicador em torno de 2,3 para n = 6 , não muito longe de 2,5 .)$t$$2.3$$n=6$$2.5$

Essa aproximação está muito próxima do verdadeiro desvio padrão da amostra. Eu escrevi um script R rápido para ilustrá-lo:

x = sample(1:10000,6000,replace=TRUE)

B = 100000
R = rep(NA,B)
for(i in 1:B){
    samp = sample(x,6)
    R[i] = max(samp)-min(samp)
}

mean(R)/2.534

sd(x)

que produz:

> mean(R)/2.534
[1] 2819.238
> 
> sd(x)
[1] 2880.924

Agora não tenho certeza (ainda) por que isso funciona, mas pelo menos parece (pelo valor nominal) que a aproximação é decente.

Edit: Veja o comentário excepcional de @ Whuber (acima) sobre por que isso funciona