A distribuição tem um nome?

Passei por essa densidade outro dia. Alguém deu um nome a isso?

$f(x) = \log(1 + x^{-2}) / 2\pi$

A densidade é infinita na origem e também possui caudas gordas. Eu o vi usado como uma distribuição anterior em um contexto em que muitas observações deveriam ser pequenas, embora grandes valores também fossem esperados.

distributions probability

— John D. Cook
fonte

por curiosidade, você tem uma citação para a fonte onde você viu isso originalmente?

— JMS

JMS: "O estimador de ferradura para sinais esparsos" de Carvalho, Polson e Scott. Eu a via como uma pré-impressão, mas já pode ter sido publicada na Biometrika. Eles não usam exatamente isso antes, mas a densidade acima é uma aproximação a um caso especial do seu prior.

— John D. Cook

Foi publicado: dx.doi.org/10.1093/biomet/asq017 .

— Fabian

Qual caso especial você está aproximando? Eu li, mas realmente não posso relacionar sua expressão com as expressões dadas no artigo ...?

— Fabian

@fabians: O caso que eu tinha em mente era sigma ^ 2 = tau ^ 2 = 1 no Teorema 1. Diz que a densidade de ferradura é limitada acima e abaixo por múltiplos de log (1 + c / x ^ 2). Portanto, talvez a distribuição que mencionei acima seja mais uma simplificação da densidade da ferradura do que uma aproximação.

— John D. Cook,

Respostas:

De fato, nem o primeiro momento existe. O CDF desta distribuição é dado por

F (x) = 1 / 2 + (\arctan (x) - x registro (pecado (\arctan (x)))) / π

$F(x) = 1/2 + \left(\arctan(x) - x \log(\sin(\arctan(x)))\right)/\pi$

para e, por simetria, para . Nem esta nem nenhuma das transformações óbvias me parecem familiares. (O fato de podermos obter um formulário fechado para o CDF em termos de funções elementares já limita severamente as possibilidades, mas a natureza um tanto obscura e complicada desse formulário fechado rapidamente exclui distribuições padrão ou transformações power / log / exponencial / trigonométrica de O arco tangente é, é claro, o CDF de uma distribuição de Cauchy (Student ), exibindo esse CDF como uma versão (substancialmente) perturbada da distribuição de Cauchy, mostrada como traços vermelhos.) $x \ge 0$ $F(x) = 1 - F(|x|)$ $x \lt 0$ $t_1$

insira a descrição da imagem aqui

— whuber
fonte

@whuber, observe que , que relaciona a forma do cdf mais próxima da do pdf . Também é interessante notar que este pdf é assintótico à metade do pdf de um Cauchy padrão. Portanto, o principal motivo de seu uso parece ter sido por seu comportamento em torno de 0. #

- 2 \log (\sin (a r c t a n (x))) = \log (1 + x^{- 2})

$-2\log(\sin(\mathrm{arctan}(x))) = \log(1+x^{-2})$

— cardeal

@whuber, embora eu pense que vejo de onde você vem em relação à sua declaração sobre os cdfs terem formulários fechados (dica: Louiville), eu recomendaria cautela com essa observação. A própria distribuição de Cauchy é um "contra-exemplo" a esse respeito.

— cardeal

@ cardinal Não entendo o ponto de sua observação sobre a distribuição Cauchy. Estou usando apenas o formulário do CDF como uma heurística para restringir pesquisas e como um alvo para pesquisas. O CDF é um pouco mais conveniente que o PDF, porque é mais fácil ver como ele será alterado quando a variável for transformada. E sim, a relação que você anotou é clara, mas eu escolhi escrever o CDF dessa forma devido à presença do arco tangente no outro termo (o que sugere a substituição x = tan (u)).

— whuber

@ Whuber, bem, talvez eu estivesse melhor pedindo esclarecimentos em vez de assumir. Qual foi sua opinião em relação ao seu comentário de que um formulário fechado em cdf limita severamente as possibilidades?

— cardeal

@cardinal Estou realizando uma ampla pesquisa no sentido de encontrar uma distribuição nomeada (ou estudada até agora) e uma re-expressão relativamente simples (como uma potência ou logaritmo etc.), de modo que tenha cdf iff possui pdf . Se uma distribuição já foi estudada antes, é altamente provável que seu CDF tenha sido obtido e, se puder ser gravado em formato fechado, esse formulário também foi publicado. Portanto, precisamos apenas procurar formas funcionais que se pareçam com com . Sabe de algum?

G

$G$

y

$y$

y (X)

$y(X)$

G

$G$

X

$X$

f

$f$

G

$G$

u - \tan (u) \log (\sin (u))

$u - \tan(u)\log(\sin(u))$

u = u (x)

$u = u(x)$

— whuber

Talvez não.

Não consegui encontrá-lo nesta lista bastante extensa de distribuições:

Leemis e McQuestion 2008 Relações de distribuição univariada. Estatístico Americano 62 (1) 45:53

— Abe
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