Soma de dois produtos normais é Laplace?

Aparentemente, é o caso em que se $X_i \sim N(0,1)$ , então

$X_1 X_2 + X_3 X_4 \sim \mathrm{Laplace(0,1)}$

Já vi artigos sobre formas quadráticas arbitrárias, que sempre resultam em horríveis expressões qui-quadrado não centrais.

O simples relacionamento acima não parece óbvio para mim, então (se é verdade!) Alguém tem uma prova simples do que foi dito acima?

— Corone
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Uma sequência elementar de etapas usando relacionamentos conhecidos entre distribuições e uma identidade de polarização algébrica simples fornece uma demonstração elementar e intuitiva.

Eu achei essa identidade de polarização geralmente útil para raciocinar sobre e computar com produtos de variáveis aleatórias, porque os reduz a combinações lineares de quadrados. É um pouco como trabalhar com matrizes diagonalizando-as primeiro. (Há mais do que uma conexão superficial aqui.)

Uma distribuição de Laplace é a diferença de dois exponenciais (o que intuitivamente faz algum sentido, porque um exponencial é uma distribuição "meio Laplace"). (O link demonstra isso manipulando funções características, mas a relação pode ser comprovada usando uma integração elementar após a definição de uma diferença como uma convolução.)

Uma distribuição exponencial (que em si é uma distribuição ) também é uma (versão em escala de a) . O factor de escala é . Isso pode ser facilmente visto comparando os PDFs das duas distribuições. $\Gamma(1)$ $\chi^2(2)$ $1/2$

$\chi^2$ $2$

A relação algébrica

X_{1} X_{2} + X_{3} X_{4} = [{(\frac{X_{1} + X_{2}}{2})}^{2} + {(\frac{X_{3} + X_{4}}{2})}^{2}] - [{(\frac{X_{1} - X_{2}}{2})}^{2} + {(\frac{X_{3} - X_{4}}{2})}^{2}]

$X_1X_2 + X_3X_4 = \left[\left(\frac{X_1+X_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_3+X_4}{2}\right)^2\right] - \left[\left(\frac{X_1-X_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_3-X_4}{2}\right)^2\right]$

$X_1X_2 + X_3X_4$ $(0,\sqrt{1/2})$ $\chi^2(2)$ $\sqrt{1/2}\ ^2=1/2$

$X_1X_2+X_3X_4$

— whuber
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Isso é absolutamente delicioso!

— Corone 26/09

Acabei de notar que outra resposta, com base nas funções de geração de momentos, aparece em stats.stackexchange.com/a/51717/919 : veja o parágrafo no meio do começo "incidentalmente" (outro nome para a distribuição de Laplace é "bi-exponencial" ) Essa discussão diz respeito ao MGF de uma generalização da presente questão.

— whuber

Boa derivação, mas como você sabe que a diferença de duas variáveis distribuídas exponenciais independentes tem uma distribuição laplaciana?

— HelloGoodbye 24/09/16

@ Hello Por favor, siga o link: ele vai para um artigo da Wikipedia que inclui uma breve demonstração.

— whuber

$X\sim \mathrm{Laplace}(0,1)$

ϕ_{X} (t) = \frac{1}{1 + t^{2}}

$\phi_X(t) = \frac{1}{1+t^2}$ que é o quadrado da função característica de um padrão de produto normal (consulte /math/74013/characteristic-function-of-product-of-normal-random-variables ). A alegação segue o fato de que somas de variáveis aleatórias independentes se relacionam com produtos de funções características.

— Michael M
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