Ao ajustar uma curva, como calculo o intervalo de confiança de 95% para meus parâmetros ajustados?

Estou ajustando curvas aos meus dados para extrair um parâmetro. No entanto, não tenho certeza sobre qual é a certeza desse parâmetro e como calcularia / expressaria seu intervalo de confiança de %.$95$

Digamos que, para um conjunto de dados contendo dados que decaem exponencialmente, ajuste uma curva a cada conjunto de dados. Então a informação que eu quero extrair é o expoente . Conheço os valores de o valor de que não estou interessado (é uma variável que vem da população, não o processo que estou tentando modelar).$b$$t$$a$

Uso regressão não linear para ajustar esses parâmetros. No entanto, não sei como calcular o intervalo de confiança de % para qualquer método, portanto respostas mais amplas também são bem-vindas.$95$

Depois de obter meu valor para , como calculo o intervalo de confiança de %? Desde já, obrigado!$b$$95$

O problema de linearizar e depois usar a regressão linear é que a suposição de uma distribuição gaussiana de resíduos provavelmente não é verdadeira para os dados transformados.

Geralmente é melhor usar regressão não linear. A maioria dos programas de regressão não linear informa o erro padrão e o intervalo de confiança dos parâmetros de melhor ajuste. Se a sua não, essas equações podem ajudar.

Cada erro padrão é calculado usando esta equação:

SE(Pi) = sqrt[ (SS/DF) * Cov(i,i) ]

• Pi: i-ésimo parâmetro ajustável (não constante)
• SS: soma dos resíduos quadráticos
• DF: graus de liberdade (o número de pontos de dados menos o número de parâmetros ajustados por regressão)
• Cov (i, i): i-ésimo elemento diagonal da matriz de covariância
• sqrt (): raiz quadrada

E aqui está a equação para calcular o intervalo de confiança para cada parâmetro a partir do valor de melhor ajuste, seu erro padrão e o número de graus de liberdade.

From [BestFit(Pi)- t(95%,DF)*SE(Pi)]  TO  [BestFit(Pi)+
 t(95%,DF)*SE(Pi)] 

• BestFit (Pi) é o melhor valor de ajuste para o i-ésimo parâmetro
• t é o valor da distribuição t para 95% de confiança para o número especificado de DF.

• DF é graus de liberdade.

  Exemplo com o Excel para 95% de confiança (portanto, alfa = 0,05) e 23 graus de liberdade: = TINV (0,05,23) DF é igual a graus de liberdade (o número de pontos de dados menos o número de parâmetros ajustados por regressão)

Se acredita que um modelo apropriado para seus dados é:

$f = ae^{-bt}$

Em seguida, você pode fazer um log transformar seus dados de resposta, de modo que um modelo apropriado seja:

$f' = a' -bt$

com e . Os dados transformados podem ser ajustados usando regressão linear simples e uma estimativa para a interceptação e inclinação, juntamente com os erros padrão obtidos. Se o valor te crítico e o erro padrão forem aplicados à estimativa de parâmetro, um intervalo de confiança para essa estimativa de parâmetro poderá ser formado. Em R:$f' = ln(f)$$a' = ln(a)$

# Rough simulated data set.
set.seed(1)
a <- 50; b <- 0.2; n <- 25
x <- 1:n
y <- a*(exp(-b * x))
y <- y + rnorm(n, sd=0.25)
y <- ifelse(y>0, y, 0.1)
plot(x,y)

# Linearise:
y2 <- log(y)
plot(x,y2)

# Fit model to transformed data
model <- lm(y2 ~ x)
summary(model)
confint(model)

# Or:
param <- summary(model)$coefficients[, 1]; se <- summary(model)$coefficients[, 2]
param + qt(0.975, 23) * se
param - qt(0.975, 23) * se

Se você estiver usando o modelo para prever, verifique se as suposições da SLR foram atendidas - iid .$~N(0,\sigma^2)$