Diferença entre os termos 'distribuição conjunta' e 'distribuição multivariada'?

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Estou escrevendo sobre o uso de uma 'distribuição de probabilidade conjunta' para um público que provavelmente entenderá 'distribuição multivariada', por isso estou pensando em usá-lo posteriormente. No entanto, não quero perder o significado ao fazer isso.

A Wikipedia parece indicar que estes são sinônimos.

São eles? Se não, por que não?

— David LeBauer
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Os termos são basicamente sinônimos, mas os usos são ligeiramente diferentes. Pense no caso univariado: você pode falar sobre "distribuições" em geral, pode se referir mais especificamente a "distribuições univariadas" e a "distribuição de ". Você normalmente não diz "a distribuição univariada de ". $X$ $X$

Da mesma forma, no caso multivariado, você pode falar sobre "distribuições" em geral, pode se referir mais especificamente a "distribuição multivariada" e a "distribuição de " ou "a distribuição conjunta de e " Portanto, a distribuição conjunta de e é uma distribuição multivariada, mas você normalmente não diz "a distribuição multivariada de " ou "a distribuição multivariada de e ". $(X,Y)$ $X$ $Y$ $X$ $Y$ $(X,Y)$ $X$ $Y$

— Mark Meckes
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+1. No Google: "a distribuição univariada de" possui 25.600 ocorrências. "a distribuição conjunta de": 1.080.000. "a distribuição multivariada de": 85.100. "a distribuição bivariada de": 89,800. Parece que a versão "conjunta" é popular entre "univariada", "bivariada" e "multivariada", ocasionalmente usadas, cada uma com frequências semelhantes. Eles provavelmente são usados em circunstâncias que exigem esclarecimentos. (Muitas vezes eu vi "a distribuição univariada de" usada nesse sentido.)

— whuber

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Eu estaria inclinado a dizer que "multivariada" descreve a variável aleatória, ou seja, é um vetor e que os componentes de uma variável aleatória multivariada têm uma distribuição conjunta. "Variável aleatória multivariada" parece um pouco estranha; Eu chamaria isso de um vetor aleatório.

— Charlie
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Os livros canônicos que descrevem propriedades das várias distribuições de probabilidade por Johnson & Kotz e mais tarde co-autores têm direito Univariadas Distribuições Discretas , contínua univariada Distribuições , contínua multivariada Distribuições e discretos multivariados Distribuições . Então eu acho que você está em um terreno seguro descrevendo uma distribuição como 'multivariada' em vez de 'conjunta'.

_{Declaração de conflito de interesses: O autor é membro da Wikipedia: Estatísticas do WikiProject .}

— uma parada
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Eu acho que eles são principalmente sinônimos, e que, se houver alguma diferença, está em detalhes que provavelmente são irrelevantes para o seu público.

— crayola
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Eu teria o cuidado de dizer que uma distribuição conjunta é sinônimo de uma distribuição multivariada. Por exemplo, uma distribuição normal conjunta pode ser uma distribuição normal multivariada ou um produto de distribuições normais univariadas.

$x$ $p(x) = N(x ; \mu, \sigma)$

$n>1$ $n \times n$ $x,y$ $p(x,y) = \mathcal{N}([x \ y]^\intercal ; [\mu_x \ \mu_y]^\intercal , \Sigma_{xy})$

$p(x,y) = N(x ; \mu_x, \sigma_x)*N(y ; \mu_y, \sigma_y)$ .

Therefore the joint distribution is not really synonymous with the multivariate in the case of independent variables.

https://en.wikipedia.org/wiki/Joint_probability_distribution#Joint_distribution_for_independent_variables

— JStrahl
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I disagree with this answer. A joint normal distribution is a specific form that is also called a multivariate normal distribution of which the product of univariate normal distributions is a special case, not something to be called out separately. All multivariate distributions of finite-variance random variables, whether multivariate normal or not, possess mean vectors and covariance matrices. Finally, normal random variables don't have to have a multivariate normal distribution: see this answer for a wealth of examples .

— Dilip Sarwate