Expectativa de quociente de somas de variáveis ​​aleatórias do IID (planilha da Universidade de Cambridge)


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Estou me preparando para uma entrevista que requer um conhecimento decente da probabilidade básica (pelo menos para passar pela entrevista em si). Estou revisando a folha abaixo dos meus dias de estudante. Tem sido bastante direto, mas estou completamente perplexo na pergunta 12.

http://www.trin.cam.ac.uk/dpk10/IA/exsheet2.pdf

Qualquer ajuda seria apreciada.

Edit: a pergunta é:

Suponha que sejam variáveis ​​aleatórias positivas independentes, distribuídas de forma idêntica, com e . Seja . Mostre que quando e quando .X1,X2,...E(X1)=μ<E(X11)<Sn=i=1nXiE(Sm/Sn)=m/nm<=nE(Sm/Sn)=1+(mn)μE(Sn1))m>=n

De fato, no processo de digitar isso, resolvi a segunda parte.

Para ,m>=nE(Sm/Sn)=E(X1+...+Xm)/E(X1+...+Xn)

=E(1+(Xn+1+...+Xm)/(X1+...+Xn))

e o numerador e o denominador da razão acima são claramente independentes, portanto:

=1+E(Xn+1+...+Xm)E(Sn1)

e obtemos o resultado desejado.

Ainda estou preso na primeira parte.


É importante que as postagens sejam independentes. Edite-o para incluir uma versão legível da pergunta. Também pedimos que você indique quais abordagens você tentou e que progresso, se houver, você fez: caso contrário, não temos base para medir o nível em que escrever as respostas.
whuber

Atualizado conforme solicitado.
Spy_Lord 30/10

1
Bom trabalho! Aqui está uma sugestão para a primeira parte: quando você adiciona cópias idênticas de , parece que a soma terá uma distribuição cuja expectativa é fácil de calcular usando apenas a suposição iid. nSm/Sn
whuber

1
Agradeço sua oferta de redigir; Eu acho que seria uma adição útil ao nosso site.
whuber

1
OK, acho que o passo que eu pensei estar certo inicialmente, depois decidi que estava errado, está realmente bom! Essencialmente, quando você chega ao ponto em que você tem , isso, pela propriedade iid, é idêntico a Você pode confirmar que está tudo bem? Se assim for, eu vou digitá-lo pós-pressa. E((nX1)/(X1+...+Xn))E((X1+...+Xn)/(X1+...+Xn))=1
Spy_Lord 30/10

Respostas:


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Detectar para adicionar cópias idênticas de é muito inteligente! Mas alguns de nós não somos tão espertos, então é bom poder "adiar" a Grande Idéia para um estágio em que é mais óbvio o que fazer. Sem saber por onde começar, parece haver várias pistas de que a simetria pode ser realmente importante (a adição é simétrica e temos alguns resumos, e as variáveis ​​iid têm a mesma expectativa, então talvez elas possam ser trocadas ou renomeadas de maneiras úteis). De fato, a parte "difícil" dessa questão é como lidar com a divisão, a operação que não é simétrica. Como podemos explorar a simetria da soma? Da linearidade da expectativa, temos:nSm/Sn

E(Sm/Sn)=E(X1+...+XmX1+...+Xn)=E(X1X1+....+Xn)+...+E(XmX1+....+Xn)

Mas, por motivos de simetria, dado que é iid e , todos os termos do lado direito são os mesmos! Por quê? Alterne os rótulos de e para . Dois termos na posição do comutador do denominador, mas após a reordenação, ainda somam , enquanto o numerador muda de para . Então . Vamos escrever para e como existem tais termos, temos .XimnXiXji,jnSnXiXjE(Xi/Sn)=E(Xj/Sn)E(Xi/Sn)=k1inmE(Sm/Sn)=mk

Parece que que produziria o resultado correto. Mas como provar isso? Nós sabemosk=1/n

k=E(X1X1+....+Xn)=E(X2X1+....+Xn)=...=E(XnX1+....+Xn)

É só nesta fase que me dei conta de que eu deveria adicioná-las, para obter

nk=E(X1X1+....+Xn)+E(X2X1+....+Xn)+...+E(XnX1+....+Xn) nk=E(X1+...+XnX1+....+Xn)=E(1)=1

O legal desse método é que ele preserva a unidade das duas partes da questão. A razão pela qual a simetria é interrompida, exigindo ajuste quando , é que os termos do lado direito após a aplicação da linearidade da expectativa serão de dois tipos, dependendo se o no numerador se encontra na soma do denominador. (Como antes, eu posso mudar os rótulos de e se ambos aparecerem no denominador, pois isso apenas reordena a soma , ou se nenhum deles, pois isso claramente deixa a soma inalterada, mas se um faz e um não, então um dos termos no denominador muda e ele não soma mais a .) Para , temosm>nXiXiXjSnSninE(XiX1+....+Xn)=k para temos , digamos. Como temos dos termos anteriores e dos últimos,i>nE(XiX1+....+Xn)=rnmn

E(Sm/Sn)=nk+(mn)r=1+(mn)r

Então, encontrar é simples usando a independência de e para :rSn1Xii>nr=E(XiSn1)=E(Xi)E(Sn1)=μE(Sn1)

Portanto, o mesmo "truque" funciona para as duas partes, envolve apenas dois casos, se . Eu suspeito que é por isso que as duas partes da pergunta foram dadas nesta ordem.m>n


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Uma exposição muito boa de seus pensamentos, trabalhando com a pergunta, e você explicita o passo nk (minha resposta meio que diz apenas 'claramente igual'). Felicidades!
Spy_Lord 31/10

1

Obrigado ao whuber pela dica da primeira parte.

Considere para o casonSm/Snm<=n

TemosE(nSm/Sn)=E((nX1+...+nXm)/(X1+...+Xn))

=E(nX1/X1+...+Xn)+...+E(nXm/X1+...+Xn)

e pela propriedade iid, isso é igual a:

mE((X1+..+Xn)/(X1+...+Xn))=m

Portanto paraE(Sm/Sn)=m/nm<=n

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