Expectativa de quociente de somas de variáveis ​​aleatórias do IID (planilha da Universidade de Cambridge)

Estou me preparando para uma entrevista que requer um conhecimento decente da probabilidade básica (pelo menos para passar pela entrevista em si). Estou revisando a folha abaixo dos meus dias de estudante. Tem sido bastante direto, mas estou completamente perplexo na pergunta 12.

http://www.trin.cam.ac.uk/dpk10/IA/exsheet2.pdf

Qualquer ajuda seria apreciada.

Edit: a pergunta é:

Suponha que sejam variáveis ​​aleatórias positivas independentes, distribuídas de forma idêntica, com e . Seja . Mostre que quando e quando .$X_1, X_2, ...$$\mathbb{E}(X_1) = \mu < \infty$$\mathbb{E}(X_1^{-1}) < \infty$$S_n = \sum_{i=1}^n X_i$$\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$$m<=n$$\mathbb{E}(S_m/S_n) = 1 + (m-n)\mu\mathbb{E}(S_n^{-1}))$$m>=n$

De fato, no processo de digitar isso, resolvi a segunda parte.

Para ,$m>=n$$\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}(X_1+ . . . +X_m)/\mathbb{E}(X_1+ . . . +X_n)$

$=\mathbb{E}(1 + (X_{n+1} + ... + X_m)/(X_1 + ... + X_n))$

e o numerador e o denominador da razão acima são claramente independentes, portanto:

$= 1 + \mathbb{E}(X_{n+1} + ... + X_m)\mathbb{E}(S_n^{-1})$

e obtemos o resultado desejado.

Ainda estou preso na primeira parte.

Detectar para adicionar cópias idênticas de é muito inteligente! Mas alguns de nós não somos tão espertos, então é bom poder "adiar" a Grande Idéia para um estágio em que é mais óbvio o que fazer. Sem saber por onde começar, parece haver várias pistas de que a simetria pode ser realmente importante (a adição é simétrica e temos alguns resumos, e as variáveis ​​iid têm a mesma expectativa, então talvez elas possam ser trocadas ou renomeadas de maneiras úteis). De fato, a parte "difícil" dessa questão é como lidar com a divisão, a operação que não é simétrica. Como podemos explorar a simetria da soma? Da linearidade da expectativa, temos:$n$$S_m/S_n$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_m}{X_1 + ... + X_n}\right) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_m}{X_1 + .... + X_n}\right)$

Mas, por motivos de simetria, dado que é iid e , todos os termos do lado direito são os mesmos! Por quê? Alterne os rótulos de e para . Dois termos na posição do comutador do denominador, mas após a reordenação, ainda somam , enquanto o numerador muda de para . Então . Vamos escrever para e como existem tais termos, temos .$X_i$$m \le n$$X_i$$X_j$$i, j \le n$$S_n$$X_i$$X_j$$\mathbb{E}(X_i/S_n) = \mathbb{E}(X_j/S_n)$$\mathbb{E}(X_i/S_n)=k$$1 \le i \le n$$m$$\mathbb{E}(S_m/S_n) = mk$

Parece que que produziria o resultado correto. Mas como provar isso? Nós sabemos$k=1/n$

$k=\mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right)=\mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right)=...=\mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$

É só nesta fase que me dei conta de que eu deveria adicioná-las, para obter

$nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + \mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$ $\implies nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_n}{X_1 + .... + X_n}\right) = \mathbb{E}(1) = 1$

O legal desse método é que ele preserva a unidade das duas partes da questão. A razão pela qual a simetria é interrompida, exigindo ajuste quando , é que os termos do lado direito após a aplicação da linearidade da expectativa serão de dois tipos, dependendo se o no numerador se encontra na soma do denominador. (Como antes, eu posso mudar os rótulos de e se ambos aparecerem no denominador, pois isso apenas reordena a soma , ou se nenhum deles, pois isso claramente deixa a soma inalterada, mas se um faz e um não, então um dos termos no denominador muda e ele não soma mais a .) Para , temos$m>n$$X_i$$X_i$$X_j$$S_n$$S_n$$i \le n$$\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=k$ para temos , digamos. Como temos dos termos anteriores e dos últimos,$i>n$$\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=r$$n$$m-n$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = nk + (m-n)r = 1 + (m-n)r$

Então, encontrar é simples usando a independência de e para :$r$$S_n^{-1}$$X_i$$i>n$$r=\mathbb{E}(X_i S_n^{-1})=\mathbb{E}(X_i) \mathbb{E}(S_n^{-1})=\mu \mathbb{E}(S_n^{-1})$

Portanto, o mesmo "truque" funciona para as duas partes, envolve apenas dois casos, se . Eu suspeito que é por isso que as duas partes da pergunta foram dadas nesta ordem.$m>n$

Obrigado ao whuber pela dica da primeira parte.

Considere para o caso$nS_m/S_n$$m<=n$

Temos$\mathbb{E}(nS_m/S_n) = \mathbb{E}((nX_1 + . . . + nX_m)/(X_1 + . . . + X_n))$

$= \mathbb{E}(nX_1/X_1 + . . . + X_n) + . . . + \mathbb{E}(nX_m/X_1 + . . . + X_n)$

e pela propriedade iid, isso é igual a:

$m\mathbb{E}((X_1+ . .+ X_n)/(X_1+ . . . + X_n)) = m$

Portanto para$\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$$m<=n$