O desvio padrão pode ser calculado para a média harmônica?

O desvio padrão pode ser calculado para a média harmônica? Entendo que o desvio padrão pode ser calculado para a média aritmética, mas se você tiver uma média harmônica, como você calcula o desvio padrão ou o CV?

A média harmônica das variáveis ​​aleatórias é definida como$H$$X_1,...,X_n$

$$H=\frac{1}{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{1}{X_i}}$$

Tendo momentos de frações é um negócio sujo, então ao invés eu preferiria trabalhar com o . Agora$1/H$

$$\frac{1}{H}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{1}{X_i}$$ .

Usando o teorema do limite central, obtemos imediatamente esse

$$\sqrt{n}\left(H^{-1}-EX_1^{-1}\right)\to N(0,VarX_1^{-1})$$

se, é claro, $VarX_1^{-1}<\infty$ e $X_i$ são iid, já que trabalhamos com a média aritmética das variáveis $Y_i=X_i^{-1}$ .

Agora, usando o método delta para a função , obtemos esse$g(x)=x^{-1}$

$$\sqrt{n}(H-(EX_1^{-1})^{-1})\to N\left(0, \frac{VarX_1^{-1}}{(EX_1^{-1})^4}\right)$$

Esse resultado é assintótico, mas para aplicações simples pode ser suficiente.

Atualizar Como o @whuber aponta com razão, aplicativos simples são um nome impróprio. O teorema do limite central é válido apenas se existe, o que é uma suposição bastante restritiva.$VarX_1^{-1}$

Atualização 2 Se você tiver uma amostra, para calcular o desvio padrão, basta conectar os momentos da amostra à fórmula. Portanto, para a amostra , a estimativa da média harmônica é$X_1,...,X_n$

$$\begin{align} \hat{H}=\frac{1}{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{1}{X_i}} \end{align}$$

os momentos de amostra e respectivamente são:$EX_1^{-1}$$Var(X_1^{-1})$

$$\begin{align} \hat{\mu}_{R}&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{1}{X_i}\\\\ \hat{\sigma}_{R}^2&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(\frac{1}{X_i}-\mu_R\right)^2 \end{align}$$

aqui significa recíproco.$R$

Finalmente, a fórmula aproximada para o desvio padrão de é$\hat{H}$

$$\begin{align*} sd(\hat{H})=\sqrt{\frac{\hat{\sigma}_R^2}{n\hat{\mu}_R^4}} \end{align*}$$

Fiz algumas simulações de Monte-Carlo para variáveis ​​aleatórias distribuídas uniformemente em intervalo . Aqui está o código:$[2,3]$

hm <- function(x)1/mean(1/x)
sdhm <- function(x)sqrt((mean(1/x))^(-4)*var(1/x)/length(x))

n<-1000

nn <- c(10,30,50,100,500,1000,5000,10000)

N<-1000

mc<-foreach(n=nn,.combine=rbind) %do% {

    rr <- matrix(runif(n*N,min=2,max=3),nrow=N)

    c(n,mean(apply(rr,1,sdhm)),sd(apply(rr,1,sdhm)),sd(apply(rr,1,hm)))

}
colnames(mc) <- c("n","DeltaSD","sdDeltaSD","trueSD")

> mc
             n     DeltaSD    sdDeltaSD      trueSD
result.1    10 0.089879211 1.528423e-02 0.091677622
result.2    30 0.052870477 4.629262e-03 0.051738941
result.3    50 0.040915607 2.705137e-03 0.040257673
result.4   100 0.029017031 1.407511e-03 0.028284458
result.5   500 0.012959582 2.750145e-04 0.013200580
result.6  1000 0.009139193 1.357630e-04 0.009115592
result.7  5000 0.004094048 2.685633e-05 0.004070593
result.8 10000 0.002894254 1.339128e-05 0.002964259

Simulei Namostras da namostra dimensionada. Para cada namostra dimensionada, calculei a estimativa da estimativa padrão (função sdhm). Em seguida, comparo a média e o desvio padrão dessas estimativas com o desvio padrão da amostra da média harmônica estimada para cada amostra, que supostamente deve ser o verdadeiro desvio padrão da média harmônica.

Como você pode ver, os resultados são muito bons, mesmo para tamanhos de amostra moderados. É claro que a distribuição uniforme é muito bem comportada, portanto, não surpreende que os resultados sejam bons. Vou deixar para outra pessoa investigar o comportamento de outras distribuições, o código é muito fácil de adaptar.

Nota: Na versão anterior desta resposta, ocorreu um erro no resultado do método delta, variação incorreta.

Minha resposta a uma pergunta relacionada aponta que a média harmônica de um conjunto de dados positivos é uma estimativa de mínimos quadrados ponderados (WLS) (com pesos ). Portanto, você pode calcular seu erro padrão usando os métodos WLS. Isso tem algumas vantagens, incluindo simplicidade, generalidade e interpretabilidade, além de ser produzido automaticamente por qualquer software estatístico que permita pesos em seu cálculo de regressão.$x_i$$1/x_i$

A principal desvantagem é que o cálculo não produz bons intervalos de confiança para distribuições subjacentes altamente distorcidas. Provavelmente, esse é um problema com qualquer método de uso geral: a média harmônica é sensível à presença de um único valor minúsculo no conjunto de dados.

Para ilustrar, aqui estão distribuições empíricas de amostras geradas independentemente, de tamanho partir de uma distribuição Gamma (5) (que é modestamente inclinada). As linhas azuis mostram a média harmônica verdadeira (igual a ), enquanto as linhas tracejadas vermelhas mostram as estimativas dos mínimos quadrados ponderados. As faixas cinzas verticais ao redor das linhas azuis são intervalos de confiança aproximados de 95% nos dois lados para a média harmônica. Nesse caso, em todas as amostras, o IC cobre a verdadeira média harmônica. Repetições desta simulação (com sementes aleatórias) sugerem que a cobertura é próxima da taxa de 95% pretendida, mesmo para esses pequenos conjuntos de dados.$20$$n=12$$4$$20$

Aqui está o Rcódigo para a simulação e figuras.

k <- 5             # Gamma parameter
n <- 12            # Sample size
hm <- k-1          # True harmonic mean
set.seed(17)

t.crit <- -qt(0.05/2, n-1)
par(mfrow=c(4, 5))
for(i in 1:20) {
  #
  # Generate a random sample.
  #
  x <- rgamma(n, k)
  #
  # Estimate the harmonic mean.
  #
  fit <- lm(x ~ 1, weights=1/x)
  beta <- coef(summary(fit))[1, ]
  message("Harmonic mean estimate is ", signif(beta["Estimate"], 3), 
          " +/- ", signif(beta["Std. Error"], 3))
  #
  # Plot the results.
  #
  covers <- abs(beta["Estimate"] - hm) <= t.crit*beta["Std. Error"]
  plot(ecdf(x), main="Empirical CDF", sub=ifelse(covers, "", "***"))
  rect(beta["Estimate"] - t.crit*beta["Std. Error"], 0, 
       beta["Estimate"] + t.crit*beta["Std. Error"], 1.25, 
       border=NA, col=gray(0.5, alpha=0.10))
  abline(v = hm, col="Blue", lwd=2)
  abline(v = beta["Estimate"], col="Red", lty=3, lwd=2)
}

Aqui está um exemplo para r.v exponencial.

A média harmônica para pontos de dados é definida como$n$

$$S = \frac{1}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i}$$

Suponha que você tenha amostras IID uma variável aleatória exponencial, . A soma de variáveis ​​exponenciais segue uma distribuição gama$n$$X_i \sim {\rm Exp}(\lambda)$$n$

$$\sum_{i=1}^n X_i \sim {\rm Gamma}(n, \theta)$$

onde . Também sabemos que$\theta = \frac{1}{\lambda}$

$$\frac{1}{n} {\rm Gamma}(n, \theta) \sim {\rm Gamma}(n, \frac{\theta}{n})$$

A distribuição de é, portanto,$S$

$$S \sim {\rm InvGamma}(n, \frac{n}{\theta})$$

A variação (e desvio padrão) deste rv é bem conhecida, veja, por exemplo, aqui .

Há alguma preocupação de que a CLT das mpiktas requer uma variação limitada em . É verdade que tem rabos malucos quando tem densidade positiva em torno de zero. No entanto, em muitas aplicações usando a média harmônica, . Aqui, é limitado por , fornecendo todos os momentos que você deseja!$1/X$$1/X$$X$$X\ge1$$1/X$$1$

O que eu sugeriria é usar a fórmula a seguir como substituto do desvio padrão:

$$\sigma=\sqrt{\frac{N}{\sum_{i=1}^{N}{\left(\frac{1}{\hat{x}}-\frac{1}{x_i}\right)^2}}},$$

onde . O bom dessa fórmula é que ela é minimizada quando e possui as mesmas unidades que o desvio padrão teria (que são as mesmas unidades que possui). x=$\hat{x} = \frac{N}{\sum \frac{1}{x_i}}$$\hat{x} = \frac{N}{\sum \frac{1}{x_i}}$$x$

Isso está em analogia com o desvio padrão, que é o valor que assume quando é minimizado em . É minimizado quando é a média: .xxx=μ=$\sqrt{\frac{1}{N}\sum(\hat{x}-x_i)^2}$$\hat{x}$$\hat{x}$$\hat{x}=\mu=\frac{1}{N}\sum x_i$