Condição necessária e suficiente no MGF conjunto para a independência

Suponha que eu tenha um momento conjunto gerando a função para uma distribuição conjunta com CDF . É ambos um necessária e suficiente de condição para independência de e ? Eu verifiquei alguns livros, que mencionavam apenas a necessidade: $M_{X,Y}(s,t)$ $F_{X,Y}(x,y)$ $M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$ $X$ $Y$

F_{X, Y} (x, y) = F_{X} (x) \cdot F_{Y} (y) ⟹ M_{X, Y} (s, t) = M_{X} (s) \cdot M_{Y} (t)

$F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) \implies M_{X,Y}(s,t)=M_X(s) \cdot M_Y(t)$

Esse resultado é claro, pois a independência implica . Como os MGFs dos marginais são determinados pelo MGF conjunto, temos: $M_{X,Y}(s,t)=\mathbb{E}(e^{sX+tY})=\mathbb{E}(e^{sX}) \mathbb{E}(e^{tY})$

X, Y independent ⟹ M_{X, Y} (s, t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$X,Y\text{ independent} \implies M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$

Mas, depois de pesquisar on-line, encontrei apenas uma referência passageira, sem provas, para o inverso . A prova de esboço a seguir é viável?

Dado um MGF conjunto , isso determina exclusivamente as distribuições marginais de e e seus MGFs, e . Somente os marginais são compatíveis com muitas outras possíveis distribuições conjuntas e determinam exclusivamente uma distribuição conjunta na qual e são independentes, com CDF e MGF: $M_{X,Y}(s,t)$ $X$ $Y$ $M_X(s)=M_{X,Y}(s,0)$ $M_Y(t)=M_{X,Y}(0,t)$ $X$ $Y$ $F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y)=F_X(x) \cdot F_Y(y)$

M_{X, Y}^{ind} (s, t) = M_{X} (s) \cdot M_{Y} (t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t) = M_X(s) \cdot M_Y(t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$

Portanto, se nos é dado, para o nosso MGF original, que , este é suficiente para mostrar . Então, pela unicidade dos MGFs, nossa distribuição conjunta original tem e e são independentes. $M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$ $M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t)$ $F_{X,Y}(x,y) = F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y) = F_X(x) \cdot F_Y(y)$ $X$ $Y$

— Silverfish
fonte

Sim, essa é a condição necessária e suficiente para a independência, não apenas para duas variáveis aleatórias, mas também para uma sequência (finita) de variáveis aleatórias. Confira, por exemplo, a P.2 na página 242 de Probabilidade com aplicações estatísticas , de Rinaldo B. Schinazi. Ou na página 259 da Análise Econométrica de Dados de Contagem, que se baseia na função de geração de probabilidade. Apenas observe que "a função geradora de momentos nem sempre existe".

— Estado
fonte

Obrigado por referências sólidas. Sim, tomei o cuidado de afirmar que o MGF original foi administrado no início e tentou se lembrar de demonstrar que qualquer outro MGF a que me referi existia como consequência antes de fazer qualquer coisa com ele! Quais estratégias de prova foram empregadas em seus árbitros?

— quer

Você leu o parágrafo logo após P2 na minha primeira referência?

— Stat

Ah, sim - é a extensão da minha prova sugerida para vetores. Comparar o MGF da distribuição fornecida com o MGF foram os componentes independentes; como são iguais e os MGF determinam exclusivamente a distribuição conjunta, a distribuição conjunta é independente.

— Silverfish