Eu quero mostrar

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Seja $X:\Omega \to \mathbb N$ uma variável aleatória no espaço de probabilidade $(\Omega,\mathcal B,P)$ Mostre que

E (X) = \sum_{n = 1}^{\infty} P (X \geq n) .

$E(X)=\sum_{n=1}^\infty P(X\ge n).$

minha definição de $E(X)$ é igual

E (X) = \int_{Ω} X d P .

$E(X)=\int_\Omega X \, dP.$

Obrigado.

probability self-study expected-value

— ambagher pual
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Hmmm, talvez você queira adicionar esse ... não?

X \geq 0

$X\geq 0$

— Stat

@Stat: não, . é natural. Considere sempre igual a 2. .

P (X \geq 0) = 1

$P(X \ge 0) = 1$

X

$X$

X

$X$

E (X) = 2 = P (X \geq 1) + P (X \geq 2)

$E(X) = 2 = P(X\ge 1) + P(X\ge 2)$

— janeiro

Opa, não vi !

N

$N$

— Stat

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A instrução está (ligeiramente) incorreta: como inclui , a soma deve começar em vez de .

N

$\mathbb{N}$

0

$0$

0

$0$

1

$1$

— whuber

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@whuber Não, a soma deve começar em (tente o caso quando ).

n = 1

$n=1$

P [X = 42] = 1

$P[X=42]=1$

— Será que

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A definição de para discreto é . $E(X)$ $X$ $E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)$

P (X \geq i) = P (X = i) + P (X = i + 1) + \dots

$P( X \ge i ) = P( X = i ) + P( X = i + 1 ) + \cdots$

então

\begin{aligned} \sum_{i} P (X \geq i) = P (X \geq 1) + P (X \geq 2) + \dots \\ = & P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + \dots + P (X = 2) + P (X = 3) + \dots \end{aligned}

$\begin{align} & \sum_i P( X \ge i ) = P( X \ge 1 ) + P( X \ge 2 ) + \cdots \\[8pt] = {} & P( X = 1 ) + P( X = 2 ) + P( X = 3 ) + \cdots + P(X = 2 ) + P( X = 3 ) + \cdots \end{align}$

(reorganizamos os termos na última expressão)

\begin{aligned} = 1 \cdot P (X = 1) + 2 \cdot P (X = 2) + 3 \cdot P (X = 3) + \dots \\ = \sum_{i} i \cdot P (X = i) \end{aligned}

$\begin{align} & = 1 \cdot P( X = 1 ) + 2 \cdot P( X = 2 ) + 3 \cdot P( X = 3 ) + \cdots \\[8pt] & = \sum_i i \cdot P( X = i ) \end{align}$

qed

— janeiro
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Você deve fornecer dicas úteis para as etiquetas de auto-estudo e não a resposta completa. É melhor não resolver as tarefas deles :) #

— Stat Stat

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Você não precisa explicar por que pode reordenar a soma? isso seria importante se você estiver procurando por uma demonstração rigorosa.

— Manuel

@ Janeiro.na questão é uma variável aleatória, não mencione é discreto ou contínuo.

X

$X$

X

$X$

— ambagher pual

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Pual, sim, você indicou que é discreto na primeira linha: "discreto" (no sentido mais amplo possível) significa que há um subconjunto contável do intervalo da variável para o qual ela tem probabilidade ; e como é contável, seu deve ser discreto.

X

$X$

1

$1$

N

$\mathbb{N}$

X

$X$

— whuber

@ whuber.Eu concordo e entendi. e obrigado de todos.

— ambagher pual

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Eu gosto da resposta de janeiro. Posso sugerir uma maneira de escrever a série para que os olhos percebam o rearranjo mais facilmente (é assim que gosto de escrever no quadro-negro)? (O rearranjo é matematicamente porque esta é uma série de termos positivos .)

\begin{array}{rcl} \sum_{k = 1}^{\infty} P (X \geq k) & = & P (X \geq 1) = P (X = 1) & + & P (X = 2) & + & P (X = 3) & + & \dots \\ + & P (X \geq 2) & + & P (X = 2) & + & P (X = 3) & + & \dots \\ + & P (X \geq 3) & + & P (X = 3) & + & \dots \\ + & \dots & + & \dots \end{array}

$\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty P(X\geq k) &=& \quad P(X\geq 1) \quad=\quad P(X=1)&+&P(X=2)&+&P(X=3) &+& \;\dots\\ &+& \quad P(X\geq 2) &+& P(X=2) &+&P(X=3)&+& \;\dots \\ \\ &+& \quad P(X\geq 3) && &+& P(X=3)&+& \;\dots \\ \\ &+& \quad\quad\;\; \dots && &&&+& \;\dots\\ \end{eqnarray}$

— zen
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Você acha que X é discreto?

— BCLC 26/11

@BCLC, a fórmula funciona apenas quando X pode receber números inteiros positivos. De fato, para, digamos, a distribuição uniforme padrão, ela fornece 1, enquanto a resposta é 1/2. Ou, mesmo em caso discreto, vamos considerar a distribuição de dois pontos : a fórmula fornece 0, enquanto o valor médio é 3/8.

P (X = 1 / 4) = P (X = 1 / 2) = 1 / 2

$P(X = 1/4) = P(X = 1/2) = 1/2$

— Artem Sobolev

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Eu acho que a maneira padrão de fazer isso é escrevendo

X = \sum_{n = 1}^{\infty} 1 (X \geq n)

$X =\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}(X\ge n)$

E (X) = E (\sum_{n = 1}^{\infty} 1 (X \geq n))

$E(X) =E\left(\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}(X\ge n)\right)$

e depois ordem inversa de expectativa e soma (pelo teorema de Tonelli)

— seanv507
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Interessante. É correto dizer que isso NÃO assume que é discreto? : O

X

$X$

— BCLC

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@BCLC A primeira linha só é verdade se X é um número natural, por isso não é correto ....

— seanv507

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Uma das outras excelentes respostas aqui (do seanv507 ) observou que essa regra de expectativa segue um resultado mais forte que expressa a variável aleatória subjacente como uma soma infinita de variáveis indicadoras. É possível provar um resultado mais geral, e isso pode ser usado para obter a regra de expectativa na pergunta. Se (portanto, seu suporte não for maior que os números naturais), poderá ser mostrado (prova abaixo) que: $X: \Omega \rightarrow \mathbb{N}$

X = \sum_{n = 1}^{max (X, m)} I (X ⩾ n) for all m \in N .

$X = \sum_{n=1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) \quad \quad \quad \text{for all } m \in \mathbb{N}.$

Tomar fornece o resultado útil: $m \rightarrow \infty$

X = \sum_{n = 1}^{\infty} I (X ⩾ n) .

$X = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{I}(X \geqslant n).$

Vale ressaltar que esse resultado é mais forte que a regra da expectativa na questão, pois fornece uma decomposição para a variável aleatória subjacente, e não apenas o seu momento. Conforme observado na outra resposta, pegar as expectativas de ambos os lados dessa equação e aplicar o teorema de Tonelli (para trocar a ordem dos operadores de soma e expectativa) fornece a regra de expectativa na pergunta. Essa é uma regra de expectativa padrão usada ao lidar com variáveis aleatórias não negativas.

O resultado acima pode ser provado de maneira bastante simples. Comece observando que:

X = \underset{X times}{\underset{⏟}{1 + 1 + \dots + 1}} + \underset{countable times}{\underset{⏟}{0 + 0 + \dots + 0}} .

$X = \underbrace{1+1+ \cdots +1}_{ X \text{ times}} + \underbrace{0+0+ \cdots +0}_{ \text{countable times}}.$

Para qualquer , temos: $m \in \mathbb{N}$

\begin{aligned} X & = \underset{X times}{\underset{⏟}{1 + 1 + \dots + 1}} + \underset{max (0, m - X) times}{\underset{⏟}{0 + 0 + \dots + 0}} \\ = \sum_{n = 1}^{X} I (X ⩾ n) + \sum_{n = 1}^{max (0, m - X)} I (X ⩾ X + n) \\ = \sum_{n = 1}^{X} I (X ⩾ n) + \sum_{n = X + 1}^{max (X, m)} I (X ⩾ n) \\ = \sum_{n = 1}^{max (X, m)} I (X ⩾ n) . \end{aligned} .

$\begin{equation} \begin{aligned} X &= \underbrace{1+1+ \cdots +1}_{ X \text{ times}} + \underbrace{0+0+ \cdots +0}_{ \max(0,m-X) \text{ times}} \\[6pt] &= \sum_{n=1}^X \mathbb{I}(X \geqslant n) + \sum_{n=1}^{\max(0,m-X)} \mathbb{I}(X \geqslant X+ n) \\[6pt] &= \sum_{n=1}^X \mathbb{I}(X \geqslant n) + \sum_{n=X+1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) \\[6pt] &= \sum_{n=1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) . \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}.$

— Ben - Restabelecer Monica
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