Concordo com o que os outros disseram - ou seja, que "variação" é provavelmente a palavra errada a ser usada (visto que a função que você está considerando não é uma distribuição de probabilidade, mas uma série temporal).
Eu acho que você pode querer abordar esse problema de uma perspectiva diferente - basta ajustar as duas séries temporais com curvas LOWESS. Você pode calcular intervalos de confiança de 95% e comentar qualitativamente suas formas. Não sei se você precisa fazer algo mais sofisticado do que isso.
Eu escrevi alguns códigos do MATLAB abaixo para ilustrar o que estou dizendo. Estou com pressa, mas posso fornecer esclarecimentos em breve. Muito do que fiz pode ser retirado diretamente daqui: http://blogs.mathworks.com/loren/2011/01/13/data-driven-fitting/
%% Generate Example data
npts = 200;
x = linspace(1,100,npts)';
y1 = (1e3*exp(-(x-25).^2/20) + 5e2*exp(-(x-65).^2/40));
y1_noisy = 50*randn(npts,1) + y1;
y2 = (1e3*exp(-(x-25).^2/60) + 5e2*exp(-(x-65).^2/100));
y2_noisy = 50*randn(npts,1) + y2;
figure; hold on
plot(x,y1_noisy,'ob')
plot(x,y2_noisy,'or')
title('raw data'); ylabel('count'); xlabel('time')
legend('y1','y2')
Você pode normalizar as duas séries temporais para comparar suas tendências relativas em vez de seus níveis absolutos.
%% Normalize data sets
figure; hold on
Y1 = y1_noisy./norm(y1_noisy);
Y2 = y2_noisy./norm(y2_noisy);
plot(x,Y1,'ob')
plot(x,Y2,'or')
title('normalized data'); ylabel('normalized count'); xlabel('time')
legend('Y1','Y2')
Agora faça LOWESS se encaixa ...
%% Make figure with lowess fits
figure; hold on
plot(x,Y1,'o','Color',[0.5 0.5 1])
plot(x,Y2,'o','Color',[1 0.5 0.5])
plot(x,mylowess([x,Y1],x,0.15),'-b','LineWidth',2)
plot(x,mylowess([x,Y2],x,0.15),'-r','LineWidth',2)
title('fit data'); ylabel('normalized count'); xlabel('time')
Por fim, você pode criar faixas de confiança de 95% da seguinte maneira:
%% Use Bootstrapping to determine 95% confidence bands
figure; hold on
plot(x,Y1,'o','Color',[0.75 0.75 1])
plot(x,Y2,'o','Color',[1 0.75 0.75])
f = @(xy) mylowess(xy,x,0.15);
yboot_1 = bootstrp(1000,f,[x,Y1])';
yboot_2 = bootstrp(1000,f,[x,Y2])';
meanloess(:,1) = mean(yboot_1,2);
meanloess(:,2) = mean(yboot_2,2);
upper(:,1) = quantile(yboot_1,0.975,2);
upper(:,2) = quantile(yboot_2,0.975,2);
lower(:,1) = quantile(yboot_1,0.025,2);
lower(:,2) = quantile(yboot_2,0.025,2);
plot(x,meanloess(:,1),'-b','LineWidth',2);
plot(x,meanloess(:,2),'-r','LineWidth',2);
plot(x,upper(:,1),':b');
plot(x,upper(:,2),':r');
plot(x,lower(:,1),':b');
plot(x,lower(:,2),':r');
title('fit data -- with confidence bands'); ylabel('normalized count'); xlabel('time')
Agora você pode interpretar a figura final como desejar e possui os ajustes LOWESS para apoiar sua hipótese de que os picos na curva vermelha são realmente mais amplos que a curva azul. Se você tiver uma idéia melhor de qual é a função, poderá fazer uma regressão não linear.
Edit: Com base em alguns comentários úteis abaixo, estou adicionando mais alguns detalhes sobre a estimativa de largura de pico explicitamente. Primeiro, você precisa criar uma definição para o que você considera um "pico" em primeiro lugar. Talvez qualquer aumento que ultrapasse algum limite (algo como 0,05 nas parcelas que fiz acima). O princípio básico é que você deve encontrar uma maneira de separar picos "reais" ou "notáveis" do ruído.
Então, para cada pico, você pode medir sua largura de duas maneiras. Como mencionei nos comentários abaixo, acho razoável examinar a "meia largura máxima", mas você também pode observar o tempo total em que o pico está acima do seu limite. Idealmente, você deve usar várias medidas diferentes de largura de pico e relatar a consistência de seus resultados com essas opções.
Quaisquer que sejam suas métricas de escolha, você pode usar a inicialização para calcular um intervalo de confiança para cada pico em cada rastreamento.
f = @(xy) mylowess(xy,x,0.15);
N_boot = 1000;
yboot_1 = bootstrp(N_boot,f,[x,Y1])';
yboot_2 = bootstrp(N_boot,f,[x,Y2])';
Esse código cria 1000 ajustes autoinicializados para os traços azul e vermelho nos gráficos acima. Um detalhe que abordarei é a escolha do fator de suavização 0,15 - você pode escolher este parâmetro para minimizar o erro de validação cruzada (consulte o link que eu publiquei). Agora tudo o que você precisa fazer é escrever uma função que isola os picos e estima sua largura:
function [t_peaks,heights,widths] = getPeaks(t,Y)
%% Computes a list of times, heights, and widths, for each peak in a time series Y
%% (column vector) with associated time points t (column vector).
% The implementation of this function will be problem-specific...
Em seguida, você executa esse código nas 1000 curvas de cada conjunto de dados e calcula os percentis 2,5 e 97,5 para a largura de cada pico. Ilustrarei isso na série temporal Y1 - você faria o mesmo na série temporal Y2 ou em qualquer outro conjunto de dados de interesse.
N_peaks = 2; % two peaks in example data
t_peaks = nan(N_boot,N_peaks);
heights = nan(N_boot,N_peaks);
widths = nan(N_boot,N_peaks);
for aa = 1:N_boot
[t_peaks(aa,:),heights(aa,:),widths(aa,:)] = getPeaks(x,yboot_1(:,aa));
end
quantile(widths(:,1),[0.025 0.975]) % confidence interval for the width of first peak
quantile(widths(:,2),[0.025 0.975]) % same for second peak width
Se desejar, você pode executar testes de hipóteses em vez de calcular intervalos de confiança. Observe que o código acima é simplista - ele assume que cada curva de bootess com bootstrap terá 2 picos. Essa suposição nem sempre é válida, portanto, tenha cuidado. Eu só estou tentando ilustrar a abordagem que eu adotaria.
Nota: a função "mylowess" é fornecida no link que eu postei acima. Isto é o que parece...
function ys=mylowess(xy,xs,span)
%MYLOWESS Lowess smoothing, preserving x values
% YS=MYLOWESS(XY,XS) returns the smoothed version of the x/y data in the
% two-column matrix XY, but evaluates the smooth at XS and returns the
% smoothed values in YS. Any values outside the range of XY are taken to
% be equal to the closest values.
if nargin<3 || isempty(span)
span = .3;
end
% Sort and get smoothed version of xy data
xy = sortrows(xy);
x1 = xy(:,1);
y1 = xy(:,2);
ys1 = smooth(x1,y1,span,'loess');
% Remove repeats so we can interpolate
t = diff(x1)==0;
x1(t)=[]; ys1(t) = [];
% Interpolate to evaluate this at the xs values
ys = interp1(x1,ys1,xs,'linear',NaN);
% Some of the original points may have x values outside the range of the
% resampled data. Those are now NaN because we could not interpolate them.
% Replace NaN by the closest smoothed value. This amounts to extending the
% smooth curve using a horizontal line.
if any(isnan(ys))
ys(xs<x1(1)) = ys1(1);
ys(xs>x1(end)) = ys1(end);
end
