Propriedade de invariância do MLE: qual é o MLE de

Propriedade de invariância do MLE: se é o MLE de , então para qualquer função , o MLE de é . $\hat{\theta}$$\theta$$f(\theta)$$f(\theta)$$f(\hat{\theta})$

Além disso, deve ser uma função individual.$f$

O livro diz: "Por exemplo, para estimar , o quadrado de uma média normal, o mapeamento não é um para um". Portanto, não podemos usar a propriedade invariância.${\theta}^2$

Mas, então, ele prova a propriedade e diz: "agora vemos que MLE de , o quadrado de uma média normal é ".$\theta^2$$\bar{x}^2$

Isso parece contraditório, estamos alinhando , mas o quadrado de qualquer coisa não é um para um, o que estou lendo errado aqui? Obrigado!$\bar{x}$

fonte: Casella & Berger "Inferência Estatística"

Não é exatamente isso que Casella e Berger dizem. Eles reconhecem (página 319) que, quando a transformação é individual, a prova da propriedade invariância é muito simples. Mas eles estendem a propriedade invariância a transformações arbitrárias dos parâmetros que introduzem uma função de probabilidade induzida na página 320. O teorema 7.2.10 na mesma página fornece a prova da propriedade estendida. Portanto, não há contradição aqui.

Na página 350 de "Probabilidade e inferência estatística" :