Estimador imparcial para a menor das duas variáveis aleatórias

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Suponha que e $X \sim \mathcal{N}(\mu_x, \sigma^2_x)$ $Y \sim \mathcal{N}(\mu_y, \sigma^2_y)$

Estou interessado em . Existe um estimador imparcial para ? $z = \min(\mu_x, \mu_y)$ $z$

O estimador de simples onde e são médias das amostras de e , por exemplo, é polarizado (embora consistente). Ele tende a diminuir $\min(\bar{x}, \bar{y})$ $\bar{x}$ $\bar{y}$ $X$ $Y$ . $z$

Não consigo pensar em um estimador imparcial para . Existe alguém? $z$

Obrigado por qualquer ajuda.

random-variable unbiased-estimator minimum

— pazam
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Este é apenas um par de comentários, não uma resposta (não tem ponto de representação suficiente).

(1) Existe uma fórmula explícita para o viés do estimador simples aqui: $min(\bar{x},\bar{y})$

Clark, CE 1961, mar-abr. O maior de um conjunto finito de variáveis aleatórias. Pesquisa Operacional 9 (2): 145-162.

Não tenho certeza de como isso ajuda

(2) Isso é apenas intuição, mas acho que esse estimador não existe. Se existe um estimador, ele também deve ser imparcial quando . Assim, qualquer 'rebaixamento' que torne o estimador menor do que a média ponderada das duas amostras significa que o estimador é tendencioso nesse caso. $\mu_x=\mu_y=\mu$

— Ou Zuk
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concebivelmente, qualquer correção pode acabar com média zero neste caso.

— cardeal

Apenas para esclarecer, no entanto, não estou afirmando que acredito que exista um estimador imparcial. Na verdade, eu concordo que provavelmente não existe .

— cardeal

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Sim, concordo - isso é apenas intuição. O artigo a seguir fornece condições para a existência de um estimador imparcial para uma função de uma média gaussiana univariada - talvez possa ser estendida para multivariada: stat.ncsu.edu/library/mimeo.archive/ISMS_1988_1929.pdf

— Ou Zuk

u_{x}

$u_x$

u_{y}

$u_y$

— 21711 pazam

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$\mu_x=\mu_y$

$T(X,Y)$ $E_{\mu_x,\mu_y}[T(X,Y)]=\min\{\mu_x,\mu_y\}$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\mu_x=\mu_y$ , o que leva a uma contradição.

Hirano e Porter têm uma prova geral em um próximo artigo da Econometrica (veja a Proposição 1). Aqui está a versão do documento de trabalho:

http://www.u.arizona.edu/~hirano/papers/hp4_2011_11_03.pdf

— user8817
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Muito agradável! Obrigado por acompanhar esta pergunta.

— whuber

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Existe um estimador para o mínimo (ou o máximo) de um conjunto de números, dada uma amostra. Veja Laurens de Haan, "Estimativa do mínimo de uma função usando estatísticas de ordem", JASM, 76 (374), junho de 1981, 467-469.

— Jan Galkowski
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Infelizmente, acho que o artigo que você cita não resolve esse problema. O artigo trata de quando você tem um conjunto de variáveis não estocásticas A e encontra o menor elemento em A através da amostragem. No contexto desse problema, cada elemento em A seria uma variável aleatória e aí está o kicker. Você tem que encontrar um estimador da média da variável aleatória menor em A.

— pazam

0

Eu teria certeza de que não existe um estimador imparcial. Mas estimadores imparciais não existem para a maioria das quantidades, e a imparcialidade não é uma propriedade particularmente desejável em primeiro lugar. Por que você quer um aqui?

Y

$Y$

Y

$Y$

Estimador imparcial para a menor das duas variáveis ​​aleatórias

Estimador imparcial para a menor das duas variáveis aleatórias