Invertendo a Transformada de Fourier para uma distribuição Fisher

A função característica da distribuição de Fisher é: $\mathcal{F}(1,\alpha)$ ondeé afunção hipergeométrica confluente. Estou tentando resolver a transformada inversa de Fourierda convoluçãopara recuperar a densidade de uma variável, ou seja: com o objetivo de obter a distribuição da soma devariáveis aleatórias distribuídas por Fisher. Gostaria de saber se alguém tem alguma idéia, pois parece ser muito difícil de resolver. Eu tentei valores de

C (t) = \frac{Γ (\frac{α + 1}{2}) U (\frac{1}{2}, 1 - \frac{α}{2}, - i t α)}{Γ (\frac{α}{2})}

$C(t)=\frac{\Gamma \left(\frac{\alpha +1}{2}\right) U\left(\frac{1}{2},1-\frac{\alpha }{2},-i t \alpha \right)}{\Gamma \left(\frac{\alpha }{2}\right)}$

U

$U$

F_{t, x}^{- 1}

$\mathcal {F} _ {t,x}^{-1}$

n

$n$

x

$x$

F_{t, x}^{- 1} (C (t)^{n})

$\mathcal {F} _ {t,x}^{-1} \left(C(t)^n\right)$

n

$n$

sem sucesso. Nota: para

por convolução, recebo o pdf da média (não da soma):

α = 3

$\alpha=3$

n = 2

$n=2$

n = 2

$n=2$

\frac{3 (12 (x^{2} + 3) (5 x^{2} - 3) x^{2} + 9 (20 x^{4} + 27 x^{2} + 9) \log (\frac{4 x^{2}}{3} + 1) + 2 \sqrt{3} (x^{2} + 15) (4 x^{2} + 3) x^{3} \tan^{- 1} (\frac{2 x}{\sqrt{3}}))}{π^{2} x^{3} {(x^{2} + 3)}^{3} (4 x^{2} + 3)}

$\frac{3 \left(12 \left(x^2+3\right) \left(5 x^2-3\right) x^2+9 \left(20 x^4+27 x^2+9\right) \log \left(\frac{4 x^2}{3}+1\right)+2 \sqrt{3} \left(x^2+15\right) \left(4 x^2+3\right) x^3 \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{\sqrt{3}}\right)\right)}{\pi ^2 x^3 \left(x^2+3\right)^3 \left(4 x^2+3\right)}$

onde é uma média de 2 variáveis. Eu sei que é pesado, mas gostaria de ter uma idéia da aproximação da distribuição da bacia. $x$

— Nero
fonte

esta pergunta está viva?

— Brethlosze 30/05

Sim, ainda está aberto.

— Nero

Eu suponho que você esteja sob algum pacote simbólico, certo?

— Brethlosze

Relacionado (?): Mathoverflow.net/questions/184367/… jstor.org/stable/2287787?seq=1#page_scan_tab_contents sciencedirect.com/science/article/pii/016771529190098C

— kjetil b halvorsen

Não existe uma densidade de forma fechada para uma convolução das estatísticas F, portanto, tentar inverter a função característica analiticamente provavelmente não levará a nada útil.

Nas estatísticas matemáticas, a expansão inclinada de Edgeworth (também conhecida como aproximação do ponto de sela) é uma técnica famosa e frequentemente usada para aproximar uma função de densidade, dada a função característica. A aproximação do ponto de sela, se frequentemente notavelmente precisa. Ole Barndorff-Nielsen e David Cox escreveram um livro explicando essa técnica matemática.

$aF(n,k)$ $n$ $a$ $k$ para fazer os dois primeiros momentos da distribuição correta. Isso é fácil, dada a média conhecida e a variação da distribuição F.

$\alpha$ $n$ $a=n$ e $k=\infty$ na aproximação acima, mostrando que a aproximação simples é precisa para grandes $\alpha$ .

— Gordon Smyth
fonte