Como gerar pontos distribuídos uniformemente na bola unitária 3-d?

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Eu postei uma pergunta anterior , isso está relacionado, mas acho que é melhor iniciar outro tópico. Desta vez, estou pensando em como gerar pontos uniformemente distribuídos dentro da esfera da unidade 3-d e como verificar a distribuição visual e estatisticamente também? Não vejo as estratégias postadas lá diretamente transferíveis para essa situação.

random-generation

— Qiang Li
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r

$r$

r^{3}

$r^3$

u

$u$

[0, 1]

$[0,1]$

w

$w$

w

$w$

u^{1 / 3}

$u^{1/3}$

@ whuber: talvez eu simplesmente não tenha entendido a essência das técnicas anteriores. Deixe-me tentar o que você descreveu. Além disso, quais são as maneiras de verificar a uniformidade aqui novamente?

— Qiang Li

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@ Função K de Qiang Ripley e testes qui-quadrado. Você também pode verificar a uniformidade da projeção radial dos pontos na superfície da esfera, a uniformidade do cubo dos comprimentos dos pontos e a independência desses dois.

— whuber

Para mim, não é tão óbvio o que "uniformemente distribuída", ... E, provavelmente, uma tentativa de defini-lo automagicamente criar um algoritmo de geração (=

f_{R, Θ, Φ} (r, θ, ϕ) = r^{2}

$f_{R, \Theta, \Phi}(r,\theta, \phi)=r^2$

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$\frac{4}{3}\pi r^3 = 0.523...$

— bayerj
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+1. Essa é uma das técnicas recomendadas pela FAQ do comp.graphics.algorithms "Pontos aleatórios uniformes na esfera".

— David Cary

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n > 100

$n > 100$

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Isso é chamado de "método de rejeição". Enquanto trabalha bem em três dimensões, por vinte e sete dimensões, apenas um em um trilhão de pontos está na bola de 27 e não no resto do cubo de 27, de modo que o método de rejeição não generaliza bem. Menciono isso porque atualmente preciso de amostras uniformemente em uma bola de 2.440 dimensões.

— perfil completo de Reb.Cabin

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$x$ $y$ $z$ $x = r \sin \theta \cos \phi$ $y = r \sin \theta \sin \phi$ $z = r \cos \theta$

$\phi$ $0$ $2\pi$ $r$ $\theta$ $r$ $r^3$ $r$ $3 r^2$ $r$ $\theta$ $(1-\cos\theta)/2$ $1 - (1-\cos (-\theta))/2$ $\theta > \pi/2$ $\theta$ $sin(\theta)/2$

$\theta$ $-1$ $1$

Em R, isso pareceria como mostrado abaixo.

n <- 10000 # For example n = 10,000.
phi <- runif(n, max=2*pi)
r <- runif(n)^(1/3)
cos_theta <- runif(n, min=-1, max=1)
x <- r * sqrt(1-cos_theta^2) * cos(phi)
y <- r * sqrt(1-cos_theta^2) * sin(phi)
z <- r * cos_theta

Ao escrever e editar esta resposta, percebi que a solução é menos trivial do que eu pensava.

$(x,y,z)$ $r$

xyz <- matrix(rnorm(3*n), ncol=3)
lambda <- runif(n)^(1/3) / sqrt(rowSums(xyz^2))
xyz <- xyz*lambda

— gui11aume
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Esta é uma resposta muito melhor devido à falta de rejeição. Em espaços de alta dimensão, a amostragem por rejeição pode ser muito cara devido à baixa probabilidade de aceitação.

— kingledion

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O último pedaço de código pode ser adaptado para uma dimensão superior, digamos d. Para isso, substitua todas as instâncias de 3por d.

— precisa saber é o seguinte

0

$P$ $P = N/||N|| * U^{1/n}$ $N$ $U$ $[0,1]$ $1/n$ $n$

Et voilà!

— Jean-Luc Bouchot
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Um raio uniformemente distribuída não vai dar um ponto uniforme na bola ...

— b Kjetil Halvorsen

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U

$U$