Respostas:
Na minha opinião, algumas opções para investigar no nível de pós-graduação podem ser: análise funcional (uma estrutura natural para formulações estatísticas), processos estocásticos, controle estocástico (análise seqüencial é a parada ideal), vários sabores do PDE (muitos problemas probabilísticos são formulados como PDE parabólicos e não lineares). Praticamente tudo isso exige análise real no nível de graduação. Se você estiver interessado em assuntos teóricos, a teoria da medida também é muito importante como pré-requisito para o tratamento completo desses tópicos. A análise complexa terá alguma utilidade, mas menor que a anterior; existem conexões com a probabilidade (isto é, funções harmônicas), mas poderia muito bem não valer a pena
Álgebra comutativa e geometria algébrica não serão muito úteis (uma conexão que posso pensar é na estatística algébrica, que não é amplamente ensinada). Esses tópicos também serão muito desafiadores, sem uma sólida formação em matemática.
Obtenha análises reais, mas não da maneira como vejo as pessoas fazerem isso. Quando entrevistamos estudantes de graduação em matemática, eles parecem não dominar as ferramentas da análise real, coisas simples como obter integrais estão fora do alcance da maioria delas. Eu ainda não entendo o porquê. Portanto, meu conselho: preste atenção às aplicações, em primeiro lugar.
Também obtenha curso ODE e PDE, além de análise funcional e geometria diferencial. Álgebra linear e tensores, é claro, também. Tudo com foco em aplicativos.
No que diz respeito à álgebra comutativa e à geometria algébrica, os assuntos que são menos abordados nas outras respostas, minha impressão é que, desde que você evite as estatísticas algébricas, você poderá sobreviver inteiramente sem elas. Evitar a estatística algébrica pode ser cada vez mais difícil no futuro, uma vez que possui muitas aplicações e interseções com o aprendizado de máquina / estatística, o que é muito proeminente na pesquisa atual, bem como aplicações em outras áreas. Álgebra comutativa e geometria algébrica são os assuntos que você deseja aprender mais especificamente para estatística algébrica; veja, por exemplo, as respostas a esta pergunta: Geometria algébrica para estatística
Por outro lado, todos os subcampos das estatísticas usam análise. (Embora não seja uma análise tão complexa, embora possa ser útil para entender as funções características, um ponto que parece não ter sido levantado ainda.) Acho que a teoria das medidas no nível de graduação provavelmente seria suficiente, já que conheci estatísticos profissionais (por exemplo, professores nos principais departamentos) que menosprezam a teoria da medida, mas se você realmente deseja entender a teoria da medida, um curso de pós-graduação em análise real é uma grande ajuda. A teoria das medidas de graduação tende a se concentrar exclusivamente na medida de Lebesgue na linha real, que possui muitas propriedades agradáveis que medidas gerais podem não ter necessariamente e, além disso, é uma medida infinita. Por outro lado, um curso de análise real de nível de pós-graduação tenderá a ter mais ênfase em medidas abstratas, que tornam as medidas de probabilidade em geral mais fáceis de entender e também tornam a relação mais clara entre medidas de probabilidade contínuas e discretas - em outras palavras, você poderá ver os dois assuntos se reunindo em uma estrutura em sua mente pela primeira vez. Da mesma forma, pode-se provar o teorema da extensão de Kolmogorov nesse curso. E uma compreensão de medidas abstratas é realmente indispensável para uma compreensão rigorosa dos processos estocásticos em tempo contínuo. É até útil para entender processos estocásticos em tempo discreto, embora menos importante do que no caso contínuo. você será capaz de ver pela primeira vez os dois assuntos juntos em uma estrutura em sua mente. Da mesma forma, pode-se provar o teorema da extensão de Kolmogorov nesse curso. E uma compreensão de medidas abstratas é realmente indispensável para uma compreensão rigorosa dos processos estocásticos em tempo contínuo. É até útil para entender processos estocásticos em tempo discreto, embora menos importante do que no caso contínuo. você será capaz de ver pela primeira vez os dois assuntos juntos em uma estrutura em sua mente. Da mesma forma, pode-se provar o teorema da extensão de Kolmogorov nesse curso. E uma compreensão de medidas abstratas é realmente indispensável para uma compreensão rigorosa dos processos estocásticos em tempo contínuo. É até útil para entender processos estocásticos em tempo discreto, embora menos importante do que no caso contínuo.