Por que um anterior à variância é considerado fraco?

fundo

Um dos pontos fracos mais comumente usados ​​antes da variância é a gama inversa com os parâmetros (Gelman 2006) .$\alpha =0.001, \beta=0.001$

No entanto, essa distribuição possui um IC de 90% de aproximadamente .$[3\times10^{19},\infty]$

library(pscl)
sapply(c(0.05, 0.95), function(x) qigamma(x, 0.001, 0.001))

[1] 3.362941e+19          Inf

A partir disso, interpreto que o oferece uma baixa probabilidade de que a variação seja muito alta e a probabilidade muito baixa de que a variação seja menor que 1 .P ( σ < 1 | α = 0,001 , β = 0,001 ) = $IG(0.001, 0.001)$$P(\sigma<1|\alpha=0.001, \beta=0.001)=0.006$

pigamma(1, 0.001, 0.001)
[1] 0.006312353

Questão

Estou faltando alguma coisa ou isso é realmente um prévio informativo?

atualização para esclarecer, a razão pela qual eu estava considerando isso 'informativo' é porque afirma fortemente que a variação é enorme e muito além da escala de quase qualquer variação já medida.

acompanhamento uma meta-análise de um grande número de estimativas de variância forneceria um prazo mais razoável antes?

Referência

Gelman 2006. Distribuições anteriores para parâmetros de variância em modelos hierárquicos . Análise Bayesiana 1 (3): 515-533

Usando a distribuição gama inversa, obtemos:

Você pode ver facilmente que, se e α → 0 , a gama inversa se aproximará dos Jeffreys antes. Essa distribuição é denominada "não informativa" porque é uma aproximação adequada aos Jeffreys anteriores.$\beta \rightarrow 0$$\alpha \rightarrow 0$

O que não é informativo para os parâmetros de escala, veja a página 18 aqui, por exemplo , porque esse anterior é o único que permanece invariante sob uma mudança de escala (observe que a aproximação não é invariante). Isso possui uma integral indefinida de que mostra que é inadequado se o intervalo de σ 2 incluir 0 ou ∞ . Mas esses casos são apenas problemas na matemática - não no mundo real. Nunca observe realmente o valor infinito da variação e, se a variação observada for zero, você terá dados perfeitos !. Para você pode definir um limite inferior igual a L > 0 e o limite superior igual a $\log(\sigma^2)$$\sigma^2$$0$$\infty$$L>0$ , e sua distribuição é adequada.$U<\infty$

Embora possa parecer estranho que isso seja "pouco informativo", na medida em que prefere pequena variação a grande, mas isso é apenas em uma escala. Você pode mostrar que o tem uma distribuição uniforme incorreta. Portanto, este prioritário não favorece nenhuma escala sobre nenhuma outra$\log(\sigma^2)$

Embora não esteja diretamente relacionado à sua pergunta, eu sugeriria uma distribuição não informativa "melhor" escolhendo os limites superior e inferior e U nos Jeffreys anteriores, em vez de α e β . Geralmente, os limites podem ser definidos facilmente com um pouco de reflexão sobre o que σ 2 realmente significa no mundo real. Se foi o erro em algum tipo de quantidade física - L não pode ser menor que o tamanho de um átomo ou o menor tamanho que você pode observar em seu experimento. U adicional$L$$U$$\alpha$$\beta$$\sigma^2$$L$$U$não poderia ser maior que a terra (ou o sol, se você quisesse ser realmente conservador). Desta forma, você manter suas propriedades de invariância, e sua uma prévia mais fácil de amostra: take , e em seguida, o valor simulado como σ 2 ( b ) = exp ( q ( b ) ) .$q_{(b)} \sim \mathrm{Uniform}(\log(L),\log(U))$$\sigma^{2}_{(b)}=\exp(q_{(b)})$

É bem perto do apartamento. Sua mediana é de 1,9 E298, quase o maior número que se pode representar em aritmética flutuante de precisão dupla. Como você aponta, a probabilidade que ele atribui a qualquer intervalo que não seja realmente grande é muito pequena. É difícil ser menos informativo do que isso!