A Regressão de Cox tem uma distribuição de Poisson subjacente?

Nossa pequena equipe estava tendo uma discussão e ficou presa. Alguém sabe se a regressão de Cox tem uma distribuição de Poisson subjacente. Tivemos um debate que talvez a regressão de Cox com tempo constante de risco tenha semelhanças com a regressão de Poisson com uma variância robusta. Alguma ideia?

Sim, existe um link entre esses dois modelos de regressão. Aqui está uma ilustração:

Suponha que o risco da linha de base seja constante ao longo do tempo: . Nesse caso, a função de sobrevivência é$h_{0}(t) = \lambda$

$S(t) = \exp\left(-\int_{0}^{t} \lambda du\right) = \exp(-\lambda t)$

e a função densidade é

$f(t) = h(t) S(t) = \lambda \exp(-\lambda t)$

Este é o pdf de uma variável aleatória exponencial com expectativa .$\lambda^{-1}$

Essa configuração produz o seguinte modelo paramétrico de Cox (com notações óbvias):

$h_{i}(t) = \lambda \exp(x'_{i} \beta)$

Na configuração paramétrica, os parâmetros são estimados usando o método de verossimilhança clássico. A probabilidade de log é dada por

$l = \sum_{i} \left\{ d_{i}\log(h_{i}(t_{i})) - t_{i} h_{i}(t_{i}) \right\}$

onde é o indicador de evento.$d_{i}$

Até uma constante aditiva, isso não passa da mesma expressão que a probabilidade logarítmica dos é vista como realizações de uma variável Poisson com média .$d_{i}$$\mu_{i} = t_{i}h_{i}(t)$

Como conseqüência, é possível obter estimativas usando o seguinte modelo de Poisson:

$\log(\mu_{i}) = \log(t_{i}) + \beta_0 + x_{i}'\beta$

onde .$\beta_0 = \log(\lambda)$