Para uma variável aleatória contínua, por que

Meu livro coloca isso em uma caixa lateral com o cabeçalho "Nota" e não explica o porquê. Você poderia me dizer por que essa afirmação se aplica?

$P(a < Z < b) = P(a \leq Z < b) = P(a < Z \leq b) = P(a \leq Z \leq b)$

probability mathematical-statistics continuous-data

— Pessoa
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Quase se poderia considerar essas afirmações como definições de "contínuo". Qual é, então, a sua definição de variável aleatória contínua?

— whuber

Para uma variável aleatória contínua, o que é e ?

P (Z = a)

$P(Z=a)$

P (Z = b)

$P(Z=b)$

— Glen_b -Reinstala Monica

O artigo da Wikipedia sobre distribuições de probabilidade explica muito bem isso. Por fim , invoca o fato de que o CDF é contínuo, de onde a probabilidade de qualquer ponto único deve ser zero.

— whuber

Respostas:

Nada formal a acrescentar, mas uma analogia que realmente me ajudou a entender isso veio de um texto de cálculo. Imagine que você tem um cano de ferro de um certo comprimento e peso. E você deseja cortá-lo em dois pedaços. Se o tubo tiver um comprimento de 1 m, você pode cortá-lo ao meio na marca 0,5. Agora pense no peso do tubo como um tempo constante do seu comprimento (assumimos que todas as seções transversais de igual comprimento têm o mesmo peso).

Cortar o tubo ao meio na marca de 0,5 m - quanto peso você perde? Lembre-se de que a única seção transversal que você está removendo é a própria marca de 0,5 m. Então, qual é o comprimento dessa seção transversal? Considere que 0,49999999 ... não faz parte dela e nem 0,5000000000 ... 1, ou qualquer outro ponto que esteja próximo, mas não seja igual a 0,5 - portanto, o comprimento dessa seção transversal é tecnicamente zero. O que significa que você realmente não está removendo nenhum peso.

Isso explicaria por que e são basicamente os mesmos para variáveis contínuas - incluindo ou excluindo o ponto final realmente não muda nada - para qualquer ponto que você escolher próximo ao ponto final, ainda haverá uma quantidade infinita de pontos entre eles. $\leq$ $<$

Isto faz algum sentido?

— ltronneberg
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Primeiro vou dar a definição de um (absolutamente) contínua variável aleatória . $Z$

(Probabilidade avançada é necessária, muitos ignoram!)

Seja um espaço de probabilidade e seja um vetor aleatório. A probabilidade em definido por , é chamada a distribuição de . Agora, se onde é a medida de Lebesgue em (ou seja, é absolutamente contínuo em relação a ), dizemos que é um vetor aleatório (absolutamente) contínuo. Agora, usando o teorema de Radon-Nikodym $(\Omega,F, P)$ $Z:\Omega\rightarrow R^n$ $P_X$ $B(R^n)$ $P_Z(A)=P\{Z\in A\}$ $A \in B(R^n)$ $Z$ $P_Z\ll \mu,$ $\mu$ $R^n$ $P$ $\mu$ $Z$ , existe uma função tal que para todos os . Chamamos a função de densidade de . $f: R^n\to[0,+\infty]$ $P_Z(A)=\int_{A}fd_{\mu}$ $A \in B(R^n)$ $f$ $Z$

Agora defina a função de distribuição cumulativa (CDF) de uma variável aleatória absolutamente contínua como: $Z$

F_{Z} (z) = P (Z \leq z) .

$F_Z(z)=P(Z\leq z).$

Antes de apresentar uma prova formal, vamos dar um exemplo de uma variável aleatória contínua distribuída uniformemente, ou seja, com uma função de densidade de probabilidade de para e 0, caso contrário. Agora vamos tentar encontrar . TemosPodemos reduzir esse intervalo para obter uma melhor aproximação da seguinte forma:Como você pode ver, essas probabilidades estão convergindo para zero à medida que diminuímos a duração do intervalo. Agora vamos provar isso formalmente. Eu vou mostrar que para qualquer variável aleatória contínua $f(z)=1$ $0\leq z \leq 1$ $P(z=0.5)$

P (z = 0.5) \sim P (0.4 < z \leq 0.6) = \int_{0.4}^{0.6} f (z) d_{z} = 0.2.

$P(z=0.5)\sim P(0.4< z\leq 0.6)=\int_{0.4}^{0.6}f(z)d_z=0.2.$

P (z = 0.5) \sim P (0.49 < z \leq 0.51) = \int_{0.49}^{0.51} f (z) d_{z} = 0.02,

$P(z=0.5)\sim P(0.49< z\leq 0.51)=\int_{0.49}^{0.51}f(z)d_z=0.02,$

P (z = 0.5) \sim P (0.499 < z \leq 0.501) = \int_{0.499}^{0.501} f (z) d_{z} = 0.002.

$P(z=0.5)\sim P(0.499< z\leq 0.501)=\int_{0.499}^{0.501}f(z)d_z=0.002.$

Z

$Z$ , temos: usando o CDF. uma vez que a função de CDF, , é uma função de "contínua" para a contínua aleatório variável . Da mesma forma, . Finalmente, observe queEntãoVocê pode usar o mesmo argumento para outras igualdades.

P (Z = a) = 0,

$P(Z=a)=0,$

P (Z = a) = lim_{ϵ \to 0} P (a - ϵ < Z \leq a + ϵ) = lim_{ϵ \to 0} F_{Z} (a + ϵ) - lim_{ϵ \to 0} F_{Z} (a - ϵ) = F_{Z} (a) - F_{Z} (a) = 0,

$P(Z=a)=\lim_{\epsilon\to 0}P(a-\epsilon< Z\leq a+\epsilon)=\lim_{\epsilon\to 0}F_Z(a+\epsilon)-\lim_{\epsilon\to 0}F_Z(a-\epsilon)\\=F_Z(a)-F_Z(a)=0,$

F

$F$

Z

$Z$

P (Z = b) = 0

$P(Z=b)=0$

P (A ⋃ B) = P (A) + P (B) - P (A ⋂ B) .

$P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(A\bigcap B).$

P (a \leq Z < b) = P ({Z = a} ⋂ {a < Z < b}) = P (Z = a) + P (a < Z < b) = 0 + P (a < Z < b) = P (a < Z < b) .

$P(a\leq Z<b)=P\Big(\{Z=a\}\bigcap \{a<Z<b\}\Big)=P(Z=a)+P(a<Z<b)\\=0+P(a<Z<b)=P(a<Z<b).$

— Estado
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Parece que esse argumento se aplicaria igualmente bem a qualquer distribuição discreta com um conjunto contável e infinito de valores possíveis, mas as conclusões estão obviamente erradas, então algo está errado.

— whuber

Seria ótimo se você pudesse nos mostrar como "as conclusões estão obviamente erradas" ...

— Stat

Em uma distribuição discreta - mesmo uma (como um Poisson ou um Binomial Negativo) com suporte infinitamente contável - todo valor tem probabilidade diferente de zero, enquanto o seu argumento implica que todos eles têm probabilidade zero.

— whuber

Eu mudei minha resposta.

— Stat

Eu discordo de sua afirmação de que sendo uma função contínua contínua nos fornece queO resultado desejado requer deixou-continuidade de , que, naturalmente, uma vez que detém é tanto-direito contínua e deixou-contínuo para contínua variáveis aleatórias . Além disso, você está usando o fato de que probabilidade é uma função de conjunto contínuo ao calcular e afirmar que é o mesmo que .

F_{Z} (z)

$F_Z(z)$

lim_{ϵ \to 0} F_{Z} (a - ϵ) = F_{Z} (a) .

$\lim_{\epsilon \to 0} F_Z(a-\epsilon) = F_Z(a).$

F_{Z} (z)

$F_Z(z)$

F_{Z} (z)

$F_Z(z)$

Z

$Z$

lim_{ϵ \to 0} P (a - ϵ < Z \leq a + ϵ)

$\lim_{\epsilon\to 0}P(a-\epsilon < Z \leq a+\epsilon)$

P {lim_{ϵ \to 0} (a - ϵ < Z < a + ϵ)}

$P\{\lim_{\epsilon\to 0} (a-\epsilon<Z<a+\epsilon)\}$

— Dilip Sarwate

-1

Talvez uma explicação mais intuitiva seja que, para uma variável contínua, a contribuição das arestas (por exemplo, ou ) para a probabilidade cumulativa nos intervalos circundantes (ou semi-intervalos) seja insignificantemente pequena. $a$ $b$

— Itamar
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