Que distribuição tem a entropia máxima para um desvio absoluto médio conhecido?

Eu estava lendo a discussão no Hacker News sobre o uso do desvio padrão em oposição a outras métricas, como o desvio médio absoluto. Portanto, se seguíssemos o princípio da entropia máxima, com que tipo de distribuição usaríamos se soubéssemos a média da distribuição e o desvio médio absoluto?

Ou faz mais sentido usar a mediana e o desvio médio absoluto da mediana?

Encontrei um Princípio de Máxima Entropia com Medidas Gerais de Desvio, de Grechuk, Molyboha e Zabarankin, que parece ter as informações de que estou curioso, mas estou demorando um pouco para decifrá-las.

Esses senhores sábios, Kotz, S., Kozubowski, TJ e Podgorski, K. (2001). The Laplace Distribution and Generalizations: A Revisit with Applications to Communications, Economics, Engineering, and Finance (No. 183). Springer.

desafie-nos com um exercício:

A prova pode seguir a prova teórica da informação de que o Normal é a entropia máxima para a média e variância especificadas. Especificamente: Seja a densidade de Laplace acima e g ( x ) seja qualquer outra densidade, mas com a mesma média e desvio absoluto médio. Isso significa que a seguinte igualdade é válida:$f(x)$$g(x)$

$$E_g(|X-c_1|)=\int g(x)|x-c_1|dx=c_2 =\int f(x)|x-c_1|dx =E_f(|X-c_1|)\qquad [1]$$

$$0\le D_{KL}(g||f) = \int g(x)\ln\left(\frac {g(x)}{f(x)}\right)dx = \int g(x)\ln g(x)dx -\int g(x)\ln f(x)dx \qquad [2]$$

$g$$-h(g)$

$$\int g(x)\ln[f(x)]dx = \int g(x)\ln\left[\frac{1}{2c_2}\exp\left\{-\frac 1{c_2} |x-c_1|\right\}\right]dx$$ $$=\ln\left[\frac{1}{2c_2}\right]\int g(x)dx- \frac 1{c_2}\int g(x)|x-c_1|dx$$ $[1]$

$$\int g(x)\ln[f(x)]dx = -\ln\left[2c_2\right] - \frac 1{c_2}\int f(x)|x-c_1|dx = -(\ln\left[2c_2\right] +1)$$ $-h(f)$

$[2]$

$$0\le D(g||f) = -h(g) - (-h(f)) \Rightarrow h(g) \le h(f)$$ $g$