Qual é a probabilidade de uma distribuição normal com variância infinita ter um valor maior que sua média?

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Me perguntaram algo semelhante a isso em entrevista hoje.

O entrevistador queria saber qual é a probabilidade de que uma opção de dinheiro acabe no dinheiro quando a volatilidade tende ao infinito.

Eu disse 0% porque as distribuições normais subjacentes ao modelo de Black-Scholes e a hipótese da caminhada aleatória terão variação infinita. E então imaginei que a probabilidade de todos os valores fosse zero.

Meu entrevistador disse que a resposta certa é 50% porque a distribuição normal ainda será simétrica e quase uniforme. Então, quando você integra de média a + infinito, obtém 50%.

Ainda não estou convencido com o raciocínio dele.

Quem está certo?

normal-distribution variance

— louzer
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Na verdade, há um limite (fraco) de distribuições normais à medida que a variação aumenta para o infinito. Envolve um infinitesimal proibido 1 / Aleph (0). Você pode ler meu artigo sobre infinitesimais no Research Gate ou no Academia. Digite "H. Tomasz Grzybowski" no Google, acesse a página Research Gate com meus artigos, clique em "Contribuições" e encontre-a.

— H. Tomasz Grzybowski

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Bem-vindo ao nosso site, @ H.TomaszGrzybowski. Eu converti sua postagem em um comentário porque sabia que você ainda não tinha a reputação de criar um comentário, mas na verdade não responde à pergunta e, portanto, não pode permanecer como resposta. Seria interessante ler uma solução para esse problema, baseada na sua idéia de infinitesimais e um limite fraco. Você ainda chegar ao valor de

ou você encontra o valor é indefinido?

1 / 2

$1/2$

— whuber

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Nenhuma das formas de raciocínio é matematicamente rigorosa - não existe uma distribuição normal com variação infinita, nem existe uma distribuição limitadora, pois a variação aumenta muito - então, tenhamos um pouco de cuidado.

$t \to \infty$ $t$ $0$ $0$ $1/2$ $t \gt 0$ $1/2$

— whuber
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+1 Em resumo raciocínio, física: dois resultados possíveis, perfeitamente simétricos, e probabilidades de todos os resultados possíveis deve resumir a 1 - a única resposta pode ser 1/2 (-;

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$X_1, X_2,\ldots, X_n$ $\mu$ $\sigma_n$ .

$\lim_{n\to\infty} P(X_n>\mu)$ $\sigma_n\to \infty$ .

$\lim_{n\to\infty} P(X_n>\mu)=\frac{1}{2}$ $\sigma_n$ , o que nos dá a resposta.

Intuitivamente, em vez de conceber uma distribuição normal de variação infinita, você deve imaginar uma distribuição de variação finita e trabalhar com seus limites.

— Bravo
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Você deve fazer sua análise com base em uma distribuição normal de log, não em uma distribuição normal. Você entrevistador está errado quando afirma que a distribuição é simétrica. Nunca seria, independentemente da variação. Você também precisa distinguir entre volatilidade e o que está chamando de variação infinita. Um preço das ações, por exemplo, não tem limite superior, portanto, tem "variação infinita".

— Ralph Winters
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2

É correto que uma distribuição lognormal esteja envolvida, mas não é necessário invocá-la, como mostra minha resposta. A distribuição normal subjacente é simétrica, é claro. O fato de um preço das ações (ou qualquer outra coisa) não ter limite superior não implica que sua distribuição tenha variação infinita. Na teoria de Black-Scholes, a propósito, a volatilidade é de fato o parâmetro de variação (para a distribuição dos logaritmos).

— whuber

consideramos a opção, não o estoque.

— Wok

@ wok É verdade, mas a teoria depende da distribuição dos preços dos ativos (ações). A distribuição dos valores das opções não é normal nem lognormal.

— whuber