Como calcular o parâmetro de regularização na regressão de crista dada graus de liberdade e matriz de entrada?

Seja A matriz de variáveis ​​independentes e B seja a matriz n × 1 correspondente dos valores dependentes. Na regressão cume, nós definimos um parâmetro λ de forma que: β = ( A T A + X I ) - 1 A T B . Agora vamos [USV] = SVD (A) e de d i = i t h entrada diagonal de 's'. definimos graus de liberdade (df) = Σ n i = 1 ( d i ) $n \times p$$n \times 1$$\lambda$$\beta=(A^\mathrm{T}A+\lambda I)^{-1}A^\mathrm{T}B$$d_{i}=i^{th}$ . A regressão de Ridge reduz os coeficientes dos componentes de baixa variância e, portanto, o parâmetroλcontrola os graus de liberdade.Portanto,paraλ=0, que é o caso da regressão normal, df = n, e, portanto, todas as variáveis ​​independentes serão consideradas. O problema que estou enfrentando é encontrar o valor deλdado 'df' e a matriz 's'. Tentei reorganizar a equação acima, mas não estava obtendo uma solução de formulário fechado. Forneça qualquer indicação útil.$\sum_{i=1}^{n} \frac{(d_{i})^2}{(d_{i})^2+\lambda}$$\lambda$$\lambda=0$$\lambda$

Um algoritmo de Newton-Raphson / Fisher-scoring / Taylor-series seria adequado para isso.

Você tem a equação para resolver para h ( λ ) = p ∑ i = 1 d 2 $\lambda$ com derivada ∂

$$h(\lambda)=\sum_{i=1}^{p}\frac{d_{i}^{2}}{d_{i}^{2}+\lambda}-df=0$$ Você obtém: h(λ)≈h(λ(0))+(λ-λ(0))∂ $$\frac{\partial h}{\partial \lambda}=-\sum_{i=1}^{p}\frac{d_{i}^{2}}{(d_{i}^{2}+\lambda)^{2}}$$ $$h(\lambda)\approx h(\lambda^{(0)})+(\lambda-\lambda^{(0)})\frac{\partial h}{\partial \lambda}|_{\lambda=\lambda^{(0)}}=0$$

$\lambda$

$$\lambda=\lambda^{(0)}-\left[\frac{\partial h}{\partial \lambda}|_{\lambda=\lambda^{(0)}}\right]^{-1}h(\lambda^{(0)})$$ $d^{2}_{i}=1$$\lambda^{(0)}=\frac{p-df}{df}$

$$\lambda^{(j+1)}=\lambda^{(j)}+\left[\sum_{i=1}^{p}\frac{d_{i}^{2}}{(d_{i}^{2}+\lambda^{(j)})^{2}}\right]^{-1}\left[\sum_{i=1}^{p}\frac{d_{i}^{2}}{d_{i}^{2}+\lambda^{(j)}}-df\right]$$

$\lambda$$\lambda$

Aqui está o pequeno código do Matlab com base na fórmula comprovada pela probabilityislogic:

function [lamda] = calculate_labda(Xnormalised,df)
    [n,p] = size(Xnormalised);   

    %Finding SVD of data
    [u s v]=svd(Xnormalised);
    Di=diag(s);
    Dsq=Di.^2;

    %Newton-rapson method to solve for lamda
    lamdaPrev=(p-df)/df;
    lamdaCur=Inf;%random large value
    diff=lamdaCur-lamdaPrev;   
    threshold=eps(class(XstdArray));    
    while (diff>threshold)          
        numerator=(sum(Dsq ./ (Dsq+lamdaPrev))-df);        
        denominator=sum(Dsq./((Dsq+lamdaPrev).^2));        
        lamdaCur=lamdaPrev+(numerator/denominator);        
        diff=lamdaCur-lamdaPrev;        
        lamdaPrev=lamdaCur;        
    end
    lamda=lamdaCur;
end