Valor esperado da mediana da amostra, dada a média da amostra

Seja denotado a mediana e denotado a média, de uma amostra aleatória de tamanho de uma distribuição que é . Como posso calcular ?$Y$$\bar{X}$$n=2k+1$$N(\mu,\sigma^2)$$E(Y|\bar{X}=\bar{x})$

Intuitivamente, devido à suposição de normalidade, faz sentido afirmar que e, de fato, essa é a resposta correta. Isso pode ser mostrado rigorosamente?$E(Y|\bar{X}=\bar{x})=\bar{x}$

Meu pensamento inicial foi abordar esse problema usando a distribuição normal condicional, que geralmente é um resultado conhecido. O problema é que, como eu não conheço o valor esperado e, consequentemente, a variação da mediana, precisaria calcular aqueles que usam a estatística ordem. Mas isso é muito complicado e eu prefiro não ir a menos que seja absolutamente necessário. $k+1$

Deixe denotam a amostra original e o vector aleatório com entradas . Então é centralizado normalmente (mas suas entradas não são independentes, como pode ser visto pelo fato de que sua soma é zero com probabilidade total). Como funcional linear de , o vector de é normal, portanto, o cálculo das suas sufixos matriz covariância para mostrar que é independente de .$X$$Z$$Z_k=X_k-\bar X$$Z$$X$$(Z,\bar X)$$Z$$\bar X$

Passando para , vê-se que , onde é a mediana de . Em particular, depende de somente, portanto, é independente de , e a distribuição de é simétrica, portanto, é centralizada.$Y$$Y=\bar X+T$$T$$Z$$T$$Z$$T$$\bar X$$Z$$T$

Finalmente,

$$E(Y\mid\bar X)=\bar X+E(T\mid\bar X)=\bar X+E(T)=\bar X.$$

A mediana da amostra é uma estatística de ordem e tem uma distribuição não normal; portanto, a distribuição de amostra finita conjunta da mediana da amostra e da média da amostra (que tem uma distribuição normal) não seria normal bivariada. Recorrendo a aproximações, assintoticamente o seguinte vale (veja minha resposta aqui ):

$$\sqrt n\Big [\left (\begin{matrix} \bar X_n \\ Y_n \end{matrix}\right) - \left (\begin{matrix} \mu \\ \mathbb v \end{matrix}\right)\Big ] \rightarrow_{\mathbf L}\; N\Big [\left (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right) , \Sigma \Big]$$

com

$$\Sigma = \left (\begin{matrix} \sigma^2 & E\left( |X-\mathbb v|\right)\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1} \\ E\left(|X-\mathbb v|\right)\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1} & \left[2f(\mathbb v)\right]^{-2} \end{matrix}\right)$$

onde é a média da amostra e a média da população, é a mediana da amostra e a mediana da população, é a densidade de probabilidade das variáveis ​​aleatórias envolvidas e é a variância. $\bar X_n$$\mu$$Y_n$$\mathbb v$$f()$$\sigma^2$

Então, aproximadamente, para amostras grandes, sua distribuição conjunta é normal bivariada, então temos que

$$E(Y_n \mid \bar X_n=\bar x) = \mathbb v + \rho\frac {\sigma_{\mathbb v}}{\sigma_{\bar X}}(\bar x -\mu)$$

onde é o coeficiente de correlação.$\rho$

Manipulando a distribuição assintótica para se tornar a distribuição conjunta de amostra grande aproximada da média e mediana da amostra (e não das quantidades padronizadas), temos

$$\rho = \frac {\frac 1nE\left(|X-\mathbb v|\right)\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1}}{\frac 1n \sigma \left[2f(\mathbb v)\right]^{-1}} = \frac {E\left(|X-\mathbb v|\right)}{\sigma }$$

Então,

$$E(Y_n \mid \bar X_n=\bar x) = \mathbb v + \frac {E\left(|X-\mathbb v|\right)}{\sigma }\frac {\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1}}{\sigma}(\bar x -\mu)$$

Temos que devido à simetria da densidade normal, então chegamos a$2f(\mathbb v) = 2/\sigma\sqrt{2\pi}$

$$E(Y_n \mid \bar X_n=\bar x) = \mathbb v + \sqrt{\frac {\pi}{2}}E\left(\left|\frac {X-\mu}{\sigma}\right|\right)(\bar x -\mu)$$

onde usamos . Agora, a variável padronizada é um normal padrão, portanto, seu valor absoluto é uma distribuição semi-normal com valor esperado igual a (uma vez que a variação subjacente é unidade). então$\mathbb v = \mu$$\sqrt{2/\pi}$

$$E(Y_n \mid \bar X_n=\bar x) = \mathbb v + \sqrt{\frac {\pi}{2}}\sqrt{\frac {2}{\pi}}(\bar x -\mu) = \mathbb v + \bar x -\mu = \bar x$$

A resposta é .$\bar{x}$

Deixe ter uma distribuição multivariada para a qual todos os marginais são simétricos em relação a um valor comum . (Não importa se são independentes ou mesmo se são distribuídos de forma idêntica.) Defina como a média aritmética de escreva para o vetor de resíduos. A suposição de simetria em implica que a distribuição de é simétrica em torno de ; isto é, quando for qualquer evento,$x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$$F$$\mu$$\bar{x}$$x_i,$ $\bar{x} = (x_1+x_2+\cdots+x_n)/n$$x-\bar{x} = (x_1-\bar{x}, x_2-\bar{x}, \ldots, x_n-\bar{x})$$F$$x - \bar{x}$$0$$E\subset\mathbb{R}^n$

$${\Pr}_F(x - \bar{x}\in E) = {\Pr}_F(x - \bar{x}\in -E).$$

A aplicação do resultado generalizado em /stats//a/83887 mostra que a mediana de tem uma distribuição simétrica em torno de . Supondo que sua expectativa exista (o que certamente ocorre quando as distribuições marginais de são normais), essa expectativa deve ser (porque a simetria implica que ela é igual a seu próprio negativo).$x-\bar{x}$$0$$x_i$$0$

Agora, como subtrair o mesmo valor de cada conjunto de valores não muda sua ordem, (a mediana do ) é igual a mais a mediana de . Consequentemente, sua expectativa condicional em é igual à expectativa de condicional em , mais . O último obviamente é enquanto o primeiro é porque a expectativa incondicional é . A soma deles é QED.$\bar{x}$$Y$$x_i$$\bar{x}$$x-\bar{x}$$\bar{x}$$x-\bar{x}$$\bar{x}$$E(\bar{x}\ |\ \bar{x})$$\bar{x}$$0$$0$$\bar{x},$

Isso é mais simples do que as respostas acima. A média da amostra é uma estatística completa e suficiente (quando a variação é conhecida, mas nossos resultados não dependem da variação, portanto, também será válido na situação em que a variação for desconhecida). Então o Rao-Blackwell, juntamente com os teoremas de Lehmann-Scheffe (ver wikipedia ...), implicará que a expectativa condicional da mediana, dada a média aritmética, é o estimador imparcial da variação mínima única da expectativa . Mas sabemos que essa é a média aritmética, daí o resultado segue. $\mu$

Também usamos que a mediana é um estimador imparcial, que segue da simetria.