Em um teste t de uma amostra, o que acontece se no estimador de variância a média da amostra for substituída por

Suponha um teste t de uma amostra, em que a hipótese nula é . A estatística é então usando o desvio padrão da amostra . Na estimativa de s , compara-se as observações com a média da amostra ¯ x :$\mu=\mu_0$$t=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}$$s$$s$$\overline{x}$

.$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}$

No entanto, se assumirmos que um dado é verdadeiro, também é possível estimar o desvio padrão s ∗ usando µ 0 em vez da média da amostra ¯ x :$\mu_0$$s^*$$\mu_0$$\overline{x}$

.$s^*=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu_0)^2}$

Para mim, essa abordagem parece mais natural, pois, consequentemente, usamos a hipótese nula também para estimar o DP. Alguém sabe se a estatística resultante é usada em um teste ou sabe, por que não?

Houve um problema com a simulação original neste post, que agora está corrigido.

Embora a estimativa do desvio padrão da amostra tenda a crescer junto com o numerador, à medida que a média se desvia de , isso resulta em não ter um efeito tão grande na potência em níveis de significância "típicos", porque em amostras médias e grandes, s ∗ / $\mu_0$ ainda tende a ser grande o suficiente para rejeitar. Porém, em amostras menores, pode ter algum efeito, e em níveis de significância muito pequenos, isso pode se tornar muito importante, porque colocará um limite superior na potência que será menor que 1.$s^*/\sqrt n$

$\bar x-\mu$

Isso significa que o teste não tem mais uma distribuição t abaixo do nulo. Não é uma falha fatal, mas significa que você não pode simplesmente usar tabelas e obter o nível de significância que deseja (como veremos em um minuto). Ou seja, o teste se torna conservador e isso afeta o poder.

À medida que n se torna grande, essa dependência se torna menos problemática (principalmente porque você pode invocar o CLT para o numerador e usar o teorema de Slutsky para dizer que há uma distribuição normal assintótica para a estatística modificada).

$\mu_0$$s$$n=10$

$\quad\quad\quad\quad$ n = 10

Você pode ver que a curva de potência é mais baixa (piora com tamanhos de amostra mais baixos), mas muito disso parece ser porque a dependência entre numerador e denominador diminuiu o nível de significância. Se você ajustar os valores críticos adequadamente, haveria pouco entre eles, mesmo em n = 10.

$n=30$

$\quad\quad\quad\quad$ n = 30

Isso sugere que, em tamanhos de amostra não pequenos, não há muito entre eles, desde que você não precise usar níveis de significância muito pequenos.

$n$$n-1$$\mu_0$

$\bar{x}$$\mu_0$

$\bar{x}$