Como a distribuição beta é semelhante em forma ao binômio, por que precisamos da distribuição beta?

Parece que a distribuição binomial é muito semelhante em forma à distribuição beta e que posso parametrizar constantes em qualquer um dos pdf para fazê-las parecer iguais. Então, por que precisamos da distribuição beta? É para um propósito específico? Obrigado!

Eles estão relacionados, mas na verdade não são tão semelhantes em forma.

Na versão beta, a variável (e seu complemento) é elevada a alguma potência, mas no binômio a variável é a potência (e também aparece em um coeficiente binomial).

Embora as formas funcionais sejam parecidas (existem termos em um que correspondem a termos no outro), as variáveis ​​que representam os parâmetros e a variável aleatória em cada um são diferentes. Isso é bastante importante; é por isso que eles não são a mesma coisa.

A distribuição binomial é geralmente usada para contagens , ou em forma de escala, para proporções baseadas em contagens (embora você possa usá-la para outras variáveis ​​aleatórias discretas e limitadas de maneira puramente pragmática). É discreto.

A distribuição beta é contínua e, portanto, normalmente não é usada para contagens.

A título de exemplo, compare estas duas funções:

$y = b^x,\, x=0,1,2,3,...$ e .$y = x^a,\, 0<x<1$

Ambas as funções são definidas por expressões da mesma forma (algo da forma ), mas os papéis de variável e constante são trocados e o domínio é diferente. O relacionamento entre o beta e o binômio é como o relacionamento entre essas duas funções.$c^d$

- Em resumo: forma diferente e domínio diferente

Aqui está um exemplo simples de uma distribuição beta, o . Qual distribuição binomial faz o mesmo trabalho?$\text{beta}(1,1)$

Ou considere a ; é difícil encontrar um binômio parecido. Aqui está uma tentativa:$\text{beta}(2,1)$

Todo o pdf beta fica entre os dois primeiros picos verdes no binômio pf, embora eles não possam realmente ser mostrados no mesmo gráfico porque os eixos y medem coisas diferentes.

Embora as formas sejam vagamente semelhantes no sentido de que ambas estão inclinadas, elas são realmente bem diferentes e usadas para coisas diferentes.

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Aqui está um desafio:

Para e um , encontre distribuições binomiais (presumivelmente dimensionadas) que possam simultaneamente com precisão razoável (digamos em vezes a probabilidade correta, mais ou menos, que têm a mesma média e variância ou média e intervalo (você escolhe), mas também reproduz aproximadamente a probabilidade de estar nesses três subintervalos: (a) , (b) e (c)X $X_1\sim\text{beta}(1,1)$c = ( 0,95 , 1,05 ) ( 1 / π , 1 / e ) ( exp ( - $X_2\sim\text{beta(3,2)}$$c=(0.95, 1.05)$$(1/\pi,1/e)$(exp(-3),1/π2$(\exp(-\frac{1}{2}),2/\pi)$$(\exp(-3),1/\pi^2)$

O beta é usado para fazer muitas coisas, incluindo proporções contínuas do modelo, agir como a priori no parâmetro de um binômio, é a distribuição de estatísticas uniformes de pedidos (e pode ser usado na derivação da distribuição de estatísticas de pedidos para outros distribuições contínuas, usadas como uma distribuição de mistura para o binômio (produzindo a distribuição beta-binomial), para modelar os tempos de conclusão da tarefa no gerenciamento de projetos e muitas outras coisas.$p$$p$