Distribuição amostral do raio da distribuição normal 2D

A distribuição normal bivariada com média e matriz de covariância pode ser reescrita em coordenadas polares com raio e ângulo . Minha pergunta é: Qual é a distribuição amostral de , isto é, a distância de um ponto ao centro estimado dada a matriz de covariância da amostra ? $\mu$ $\Sigma$ $r$ $\theta$ $\hat{r}$ $x$ $\bar{x}$ $S$

Antecedentes: A verdadeira distância de um ponto à média segue uma distribuição de Hoyt . Com os valores próprios de e , seu parâmetro de forma é e seu parâmetro de escala é . Sabe-se que a função de distribuição cumulativa é a diferença simétrica entre duas funções Q Marcum. $r$ $x$ $\mu$ $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ $\Sigma$ $\lambda_{1} > \lambda_{2}$ $q=\frac{1}{\sqrt{(\lambda_{1}+\lambda_{2})/\lambda_{2})-1}}$ $\omega = \lambda_{1} + \lambda_{2}$

A simulação sugere que a inserção de estimativas e para e no cdf verdadeiro funcione para amostras grandes, mas não para amostras pequenas. O diagrama a seguir mostra os resultados de 200 vezes $\bar{x}$ $S$ $\mu$ $\Sigma$

simulando 20 vetores normais 2D para cada combinação de ( eixo ), (linhas) e quantil (colunas) $q$ $x$ $\omega$
para cada amostra, calculando o quantil fornecido do raio observado para $\hat{r}$ $\bar{x}$
Para cada amostra, o cálculo do quantil do Hoyt teórica (normal 2D) ED, e a partir do CDF teórico Rayleigh depois de ligar as estimativas de amostra e . $\bar{x}$ $S$

insira a descrição da imagem aqui

À medida que aproxima de 1 (a distribuição se torna circular), os quantis estimados de Hoyt se aproximam dos quantis estimados de Rayleigh que não são afetados por . À medida que o cresce, a diferença entre os quantis empíricos e os estimados aumenta, notadamente na cauda da distribuição. $q$ $q$ $\omega$

— caracal
fonte

Qual é a questão?

— John

@ John, destaquei a pergunta: "Qual é a distribuição amostral de [raio] , isto é, da distância entre um ponto e o centro estimado dada a matriz de convariância de amostra ?"

r

$r$

x

$x$

\bar{x}

$\bar{x}$

S

$S$

— Caracal

Por que em oposição a ?

\hat{r}

$\hat{r}$

\hat{r^{2}}

$\hat{r^2}$

— precisa

@MathEE simplesmente porque a literatura que eu conheço diz respeito à distribuição de (true) , não (true) . Observe que isso é diferente da situação com a distância de Mahalanobis discutida nesta pergunta . Obviamente, os resultados para a distribuição de seriam muito bem-vindos.

\hat{r}

$\hat{r}$

r

$r$

r^{2}

$r^{2}$

{\hat{r}}^{2}

$\hat{r}^{2}$

— caracal

Como você mencionou em seu post, sabemos a distribuição da estimativa de se assim sabemos a distribuição da estimativa do valor verdadeiro . $\widehat{r_{true}}$ $\mu$ $\widehat{r^2_{true}}$ $r^2$

Queremos encontrar a distribuição de onde são expressos como vetores de coluna.

\hat{r^{2}} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} (x_{i} - \bar{x})

$\widehat{r^2} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i-\overline{x})^T(x_i-\overline{x})$

x_{i}

$x_i$

Agora fazemos o truque padrão

\begin{array}{rcl} \hat{r_{t r u e}^{2}} & = & \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - μ)^{T} (x_{i} - μ) \\ = & \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x} + \bar{x} - μ)^{T} (x_{i} - \bar{x} + \bar{x} - μ) \\ = & [\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} (x_{i} - \bar{x})] + (\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ) (1) \\ = & \hat{r^{2}} + (\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \widehat{r^2_{true}} &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^T(x_i-\mu)\\ &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x} + \overline{x} -\mu)^T(x_i-\overline{x} + \overline{x}-\mu)\\ &=&\left[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \overline{x})^T(x_i-\overline{x})\right] + (\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu) \hspace{20pt}(1)\\ &=& \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu) \end{eqnarray*}$ onde surge da equação e sua transposição.

(1)

$(1)$

\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} (\bar{x} - μ) = (\bar{x} - \bar{x})^{T} (\bar{x} - μ) = 0

$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x})^T(\overline{x}-\mu) = (\overline{x} - \overline{x})^T(\overline{x} - \mu) = 0$

Observe que é o traço da matriz de covariância da amostra e depende apenas apenas da média da amostra . Assim, escrevemos como a soma de dois variáveis aleatórias independentes. Conhecemos as distribuições de e e, portanto, terminamos o truque padrão usando esse funções características são multiplicativas. $\widehat{r^2}$ $S$ $(\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$ $\overline{x}$

\hat{r_{t r u e}^{2}} = \hat{r^{2}} + (\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ)

$\widehat{r_{true}^2} = \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$

\hat{r_{t r u e}^{2}}

$\widehat{r^2_{true}}$

(\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ)

$(\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu)$

Editado para adicionar:

$||x_i-\mu||$ é Hoyt, portanto, ele tem pdf que é a função de Bessel modificada do primeiro tipo .

f (ρ) = \frac{1 + q^{2}}{q ω} ρ e^{- \frac{(1 + q^{2})^{2}}{4 q^{2} ω} ρ^{2}} I_{O} (\frac{1 - q^{4}}{4 q^{2} ω} ρ^{2})

$f(\rho) = \frac{1+q^2}{q\omega}\rho e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega} \rho^2}I_O\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega} \rho^2\right)$

I_{0}

$I_0$

0^{t h}

$0^{th}$

Isso significa que o pdf de é $||x_i-\mu||^2$

f (ρ) = \frac{1}{2} \frac{1 + q^{2}}{q ω} e^{- \frac{(1 + q^{2})^{2}}{4 q^{2} ω} ρ} I_{0} (\frac{1 - q^{4}}{4 q^{2} ω} ρ) .

$f(\rho) = \frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}\rho}I_0\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega}\rho\right).$

Para facilitar a notação definir , e . $a = \frac{1-q^4}{4q^2\omega}$ $b=-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}$ $c=\frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}$

A função geradora de momento de é $||x_i-\mu||^2$

{\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{(s - b)^{2} - a^{2}}} & (s - b) > a \\ 0 & else \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{(s-b)^2-a^2}} & (s-b) > a\\ 0 & \text{ else}\\ \end{cases}$

Assim, a função geradora de momento de é e a função de geração de momentos de é $\widehat{r^2_{true}}$

{\begin{cases} \frac{c^{N}}{((s / N - b)^{2} - a^{2})^{N / 2}} & (s / N - b) > a \\ 0 & else \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c^N}{((s/N-b)^2-a^2)^{N/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{else} \end{cases}$

| | \bar{x} - μ | |^{2}

$||\overline{x} - \mu||^2$

{\begin{cases} \frac{N c}{\sqrt{(s - N b)^{2} - (N a)^{2}}} = \frac{c}{\sqrt{(s / N - b)^{2} - a^{2}}} & (s / N - b) > a \\ 0 & else \end{cases}

$\begin{cases} \frac{Nc}{\sqrt{(s-Nb)^2-(Na)^2}} = \frac{c}{\sqrt{(s/N-b)^2-a^2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else} \end{cases}$

Isso implica que a função geradora de momento de é $\widehat{r^2}$

{\begin{cases} \frac{c^{N - 1}}{((s / N - b)^{2} - a^{2})^{(N - 1) / 2}} & (s / N - b) > a \\ 0 & else . \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c^{N-1}}{((s/N-b)^2-a^2)^{(N-1)/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else}. \end{cases}$

A aplicação da conversão inversa de Laplace fornece que possui pdf $\widehat{r^2}$

g (ρ) = \frac{\sqrt{π} N c^{N - 1}}{Γ (\frac{N - 1}{2})} {(\frac{2 i a}{N ρ})}^{(2 - N) / 2} e^{b N ρ} J_{N / 2 - 1} (i a N ρ) .

$g(\rho) = \frac{\sqrt{\pi}Nc^{N-1}}{\Gamma(\frac{N-1}{2})}\left(\frac{2\mathrm{i} a}{N\rho}\right)^{(2 - N)/2} e^{b N \rho} J_{N/2-1}( \mathrm{i} a N \rho).$

— SomeEE
fonte

Obrigado! Vou ter que resolver os detalhes antes de aceitar.

— caracal

\hat{r_{true}^{2}} \sim Hoyt

$\widehat{r^{2}_{\text{true}}} \sim \text{Hoyt}$ e ? Então a função característica de é o produto das duas funções características, conforme explicado aqui . Isso realmente responde à minha pergunta. Você sabe como podemos transformar adequadamente, de modo que sua distribuição seja conhecida sem acesso a ? Como a distância de Mahalanobis, ou a uni estatística?

| | \bar{x} - μ | |^{2} \sim N (0, \frac{1}{N} Σ)

$||\bar{x}-\mu||^{2} \sim \mathcal{N}(0, \frac{1}{N}\Sigma)$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^{2}}$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^{2}}$

Σ

$\Sigma$

t

$t$

— Caracal

Eu editei minha resposta para uma resposta completa. Entre em contato se você concordar.

— SomeEE

Não tenho certeza sobre desconhecido . A coisa óbvia a ser feita seria tentar "dividir" pela covariância de amostra que se pareceria com a soma das distâncias de Mahalanobis, ou seja, considere . Infelizmente, essa soma é sempre .

Σ

$\Sigma$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^2}$

S

$S$

\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} S^{- 1} (x_{i} - \bar{x})

$\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N(x_i - \overline{x})^T S^{-1}(x_i-\overline{x})$

1

$1$

— SomeEE

Obrigado por continuar trabalhando na resposta! Não tenho certeza sobre a distribuição de . Eu não sou capaz de fazer negócio com este analiticamente, mas uma simulação rápida de dá uma distribuição diferente do que : R código de simulação . Embora possa ser que eu não entenda corretamente a parametrização .

| | x_{i} - μ | |^{2}

$||x_{i}-\mu||^{2}$

r^{2}

$r^{2}$

Γ (q, \frac{ω}{q})

$\Gamma(q, \frac{\omega}{q})$

Γ

$\Gamma$

— Caracal