Regressão de Poisson vs. regressão de mínimos quadrados com contagem de logarítmos?

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Uma regressão de Poisson é um GLM com uma função de log-link.

Uma maneira alternativa de modelar dados de contagem distribuídos de maneira não-normal é pré-processar usando o log (ou melhor, log (1 + count) para manipular zeros). Se você fizer uma regressão de mínimos quadrados nas respostas de contagem de log, isso está relacionado a uma regressão de Poisson? Ele pode lidar com fenômenos semelhantes?

regression poisson-distribution generalized-linear-model

— Brendan OConnor
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Como você planeja obter logaritmos de qualquer contagem que seja zero?

— whuber

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Definitivamente não é equivalente. Uma maneira fácil de ver isso é ver o que aconteceria se você observasse a contagem zero. (Comentário criado antes de ver o comentário de @ whuber. Aparentemente, esta página não foi atualizada adequadamente no meu navegador.) #

— cardeal

OK, obviamente, devo dizer, log (1 + contagem). Obviamente não é equivalente, mas querendo saber se havia um relacionamento ou se eles podem lidar com fenômenos semelhantes.

— Brendan OConnor 21/03

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Há uma discussão útil sobre esse problema aqui: blog.stata.com/2011/08/22/…

— Michael Bishop

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Por um lado, em uma regressão de Poisson, o lado esquerdo da equação do modelo é o logaritmo da contagem esperada: . $\log(E[Y|x])$

Por outro lado, em um modelo linear "padrão", o lado esquerdo é o valor esperado da variável de resposta normal: . Em particular, a função de link é a função de identidade. $E[Y|x]$

Agora, digamos que é uma variável de Poisson e que você pretende normalizá-la usando o log: . Como deveria ser normal, você planeja ajustar o modelo linear padrão para o qual o lado esquerdo é . Mas, em geral, . Como conseqüência, essas duas abordagens de modelagem são diferentes. $Y$ $Y' = \log(Y)$ $Y'$ $E[Y'|x] = E[\log(Y)|x]$ $E[\log(Y) | x] \neq \log(E[Y|x])$

— ocram
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Na verdade, sempre, a menos que para alguns -mensurável função , isto é, é completamente determinada por .

E (\log (Y) | X) \neq \log (E (Y | X))

$\mathbb{E}(\log(Y) | X) \neq \log(\mathbb{E}(Y | X))$

P (Y = f (X) | X) = 1

$\mathbb{P}(Y = f(X) | X ) = 1$

σ (X)

$\sigma(X)$

f

$f$

Y

$Y$

X

$X$

— cardinal

@cardeal. Muito bem colocado.

— suncoolsu

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Eu vejo duas diferenças importantes.

Primeiro, os valores previstos (na escala original) se comportam de maneira diferente; nos mínimos quadrados loglineares representam médias geométricas condicionais; no modelo log-poisson, representam médias condicionais. Como os dados nesse tipo de análise geralmente são inclinados para a direita, a média geométrica condicional subestima a média condicional.

Uma segunda diferença é a distribuição implícita: lognormal versus poisson. Isso se refere à estrutura de heterocedasticidade dos resíduos: variação residual proporcional aos valores esperados ao quadrado (lognormal) versus variação residual proporcional ao valor esperado (Poisson).

— ludo
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Uma diferença óbvia é que a regressão de Poisson produzirá números inteiros como previsões pontuais, enquanto a regressão linear de contagem de log pode produzir números não inteiros.

— Galit Shmueli
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Como isso funciona? O GLM não estima expectativas , que não são necessariamente integrais?

— whuber

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Isso é falso. Mecanicamente, as regressões de Poisson são perfeitamente capazes de lidar com não-inteiros. Os erros padrão não serão distribuídos por poisson, mas você pode usar apenas erros padrão robustos.

— Mateus