Exemplos simples de e não correlacionados, mas não independentes

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Qualquer aluno que trabalha duro é um contra-exemplo para "todos os alunos são preguiçosos".

Quais são alguns exemplos simples de "se as variáveis aleatórias e não são correlacionadas, são independentes"? $X$ $Y$

correlation random-variable independence

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Acho que é uma duplicata, mas tenho preguiça de procurá-la. Tome e . , mas claramente as duas variáveis não são independentes.

X \sim N (0, 1)

$X\sim N(0,1)$

Y = X^{2}

$Y=X^2$

c o v (X, Y) = E X^{3} = 0

$cov(X,Y)=EX^3=0$

— Mvctas

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um exemplo simples (apesar de existirem talvez até mais simples)

— Glen_b -Reinstate Monica

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Tome para ser distribuído uniformemente no e , .

U

$U$

[0, 2 π]

$[0,2\pi]$

X = \cos U

$X=\cos U$

Y = \sin U

$Y = \sin U$

— Dilip Sarwate

Como o sentido de "mais simples" é indefinido, essa pergunta não é objetivamente responsável. Escolhi a duplicata em stats.stackexchange.com/questions/41317 com base na soma mais simples = menor de cardinalidades de suportes das distribuições marginais.

— whuber

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@ whuber: Mesmo que "mais simples" não seja muito bem definido, as respostas aqui, por exemplo, a resposta de Glen_b estão claramente fornecendo um exemplo muito mais simples do que o tópico que você fechou como duplicado. Sugiro reabrir este (já votei) e talvez faça com que a CW destaque o fato de que "o mais simples" seja mal definido e o OP esteja talvez pedindo vários exemplos "simples".

— Ameba diz Restabelecer Monica

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Seja . $X\sim U(-1,1)$

Seja . $Y=X^2$

As variáveis não são correlacionadas, mas dependentes.

Como alternativa, considere uma distribuição bivariada discreta que consiste em probabilidade em 3 pontos (-1,1), (0, -1), (1,1) com probabilidade 1/4, 1/2, 1/4, respectivamente. Em seguida, as variáveis não são correlacionadas, mas dependentes.

Considere dados bivariados uniformes em um diamante (um quadrado girado 45 graus). As variáveis serão não correlacionadas, mas dependentes.

Esses são os casos mais simples em que consigo pensar.

— Glen_b -Reinstate Monica
fonte

Todas as variáveis aleatórias simétricas e centradas em torno de 0 não são correlacionadas?

— 9136 Martin Thoma

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@moose Sua descrição é ambígua. Se você quer dizer "se é simétrico em torno de zero e é simétrico em torno de zero", então não, pois uma bivariada normal com margens normais padrão pode ser correlacionada, por exemplo. Se você quer dizer "se é simétrico em relação a zero e é uma função par de ", desde que as variações existam, acredito que a resposta seja sim. Se você quer dizer outra coisa, terá que explicar.

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

— Glen_b -Reinstala Monica

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Penso que a essência de alguns dos contra-exemplos simples pode ser vista começando com uma variável aleatória contínua centrada em zero, ou seja, . Suponha que o pdf de seja par e definido em um intervalo da forma , em que . Agora suponha que para alguma função . Agora fazemos a pergunta: para que tipo de funções podemos ter ? $X$ $E[X]=0$ $X$ $(-a,a)$ $a>0$ $Y=f(X)$ $f$ $f(X)$ $Cov(X,f(X))=0$

Sabemos que . Nossa suposição de que nos leva diretamente a . Denotando o pdf de via , temos $Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]-E[X]E[f(X)]$ $E[X]=0$ $Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]$ $X$ $p(\cdot)$

$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]=\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx$ .

Queremos e uma maneira de conseguir isso é garantir que seja uma função par, o que implica que é uma função ímpar. Segue-se que e, portanto, . $Cov(X,f(X))=0$ $f(x)$ $xf(x)p(x)$ $\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx=0$ $Cov(X,f(X))=0$

Desta forma, podemos ver que a distribuição precisa de não é importante como ao longo como a PDF é simétrica em torno de um ponto e qualquer função mesmo vai fazer para definir . $X$ $f(\cdot)$ $Y$

Felizmente, isso pode ajudar os alunos a ver como as pessoas criam esses tipos de contra-exemplos.

— Harjoat Bhamra
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5

Seja o contra-exemplo (ou seja, aluno trabalhador)! Com isso dito:

Eu estava tentando pensar em um exemplo do mundo real e este foi o primeiro que me veio à mente. Este não será o caso matematicamente mais simples (mas se você entender este exemplo, poderá encontrar um exemplo mais simples com urnas e bolas ou algo assim).

Segundo algumas pesquisas, o QI médio de homens e mulheres é o mesmo, mas a variação do QI masculino é maior que a variação do QI feminino. Para concretização, digamos que o QI masculino segue e o QI feminino segue com . Metade da população é masculina e metade é feminina. $N(100, \sigma^2)$ $N(100, \alpha \sigma^2)$ $\alpha<1$

Supondo que esta pesquisa esteja correta:

Qual é a correlação de gênero e QI?

O gênero e o QI são independentes?

— Har
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Podemos definir uma variável aleatória discreta com $X\in\{-1,0,1\}$ $\mathbb{P}(X=-1)=\mathbb{P}(X=0)=\mathbb{P}(X=1)=\frac{1}{3}$

e defina $Y=\begin{cases}1,\quad\text{if}\quad X=0\\0,\quad\text{otherwise}\end{cases}$

É fácil verificar que e não são correlacionados, mas não independentes. $X$ $Y$

— Teimoso
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2

Tente isto (código R):

x=c(1,0,-1,0);  
y=c(0,1,0,-1);  

cor(x,y);  
[1] 0

Isso é da equação do círculo $x^2+y^2-r^2=0$

$Y$ não está correlacionado com , mas é funcionalmente dependente (determinístico). $x$

— Analista
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A correlação de amostra zero não significa que a correlação verdadeira é zero.

— Mvctas

3

@mpiktas Se esses quatro valores representam uma distribuição bivariada, cada um com probabilidade 1/4, a corfunção que retorna zero indica uma correlação populacional de zero.

— Glen_b -Reinstala Monica

@ Glen_b Eu deveria ter feito melhores comentários sobre o código. Isso pode não ser conhecido por todos. Você pode usar ponto e vírgula pensei que eu acho que não é recomendado como um estilo de codificação em R.

— Analista de

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@Glen_b sim, você está correto. Mas isso não foi afirmado. Btw observação agradável.

— Mvctas

1

O único caso geral em que a falta de correlação implica independência é quando a distribuição conjunta de X e Y é gaussiana.

— Frederik Meinertsen
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2

Isso não responde diretamente à pergunta, produzindo um exemplo simples - nesse sentido, é mais um comentário -, mas fornece uma resposta indireta, na medida em que sugere um conjunto muito amplo de possíveis exemplos. Pode valer a pena reformular esta postagem para esclarecer como ela responde à pergunta original.

— Silverfish 23/09

-1

Uma resposta de duas frases: o caso mais claro de dependência estatística não correlacionada é uma função não linear de um VD, digamos Y = X ^ n. Os dois RVs são claramente dependentes, mas ainda não estão correlacionados, porque a correlação é uma relação linear.

— John Strong
fonte

A menos que para algumas distribuições muito específicas de , os RVs e serão geralmente correlacionados.

X

$X$

X

$X$

Y = X^{n}

$Y=X^n$

— StijnDeVuyst

Esta resposta está incorreta. Em R: Expressão: {x <- runif (100); cor (x, x ^ 3)} Resultado: 0,9062057

— Josh