Por que usar o gráfico fatorial para inferência bayesiana?

Não entendo por que converter uma rede bayesiana em um gráfico de fatores é bom para a inferência bayesiana?

Minhas perguntas são:

1. Qual é a vantagem de usar o gráfico de fatores no raciocínio bayesiano?
2. O que aconteceria se não o usássemos?

Quaisquer exemplos concretos serão apreciados!

Vou tentar responder minha própria pergunta.

mensagem

Uma noção muito importante do gráfico de fatores é a mensagem , que pode ser entendida como A diz algo sobre B, se a mensagem é passada de A para B.

No contexto do modelo probabilístico, a mensagem do fator para a variável pode ser denotada como , que pode ser entendida como sabe alguma coisa (distribuição de probabilidade nesse caso) e diz para .$f$$x$$\mu_{f \to x}$$f$$x$

O fator resume as mensagens

No contexto "fator", para conhecer a distribuição de probabilidade de alguma variável, é preciso ter todas as mensagens prontas dos fatores vizinhos e, em seguida, resumir todas as mensagens para derivar a distribuição.

Por exemplo, no gráfico a seguir, as arestas, , são variáveis ​​e os nós, , são fatores conectados por arestas.$x_i$$f_i$

Para conhecer , precisamos conhecer e e resumi-los juntos.$P(x_4)$$\mu_{f_3 \to x_4}$$\mu_{f_4 \to x_4}$

Estrutura recursiva de mensagens

Então, como conhecer essas duas mensagens? Por exemplo, . Pode ser vista como a mensagem depois de resumir duas mensagens, e . E é essencialmente , que pode ser calculado a partir de outras mensagens.$\mu_{f_4 \to x_4}$$\mu_{x_5 \to f_4}$$\mu_{x_6 \to f_4}$$\mu_{x_6 \to f_4}$$\mu_{f_6 \to x_6}$

Esta é a estrutura recursiva das mensagens, as mensagens podem ser definidas por mensagens .

A recursão é uma coisa boa, uma para melhor compreensão, outra para facilitar a implementação do programa de computador.

Conclusão

Os benefícios dos fatores são:

1. O fator, que resume as mensagens de entrada e saída da mensagem de saída, habilita mensagens essenciais para a computação marginal
2. Os fatores permitem a estrutura recursiva do cálculo de mensagens, facilitando o entendimento do processo de transmissão de mensagens ou propagação de crenças e, possivelmente, a implementação.

Uma rede bayesiana, por definição, é uma coleção de variáveis ​​aleatórias e um gráfico modo que a função de probabilidade fatores como probabilidades condicionais de uma forma determinada por . Veja http://en.wikipedia.org/wiki/Factor_graph .$\{X_n: P \rightarrow \mathbb{R}\}$$G$$P(X_1,...,X_n)$$G$

Mais importante ainda, os fatores na rede bayesiana têm a forma .$P(X_i| X_{j_1},..,X_{j_n})$

Um gráfico de fatores, mesmo que seja mais geral, é o mesmo, pois é uma maneira gráfica de manter informações sobre a fatoração de ou qualquer outra função.$P(X_1,...,X_n)$

A diferença é que, quando uma rede bayesiana é convertida em um gráfico de fatores, os fatores no gráfico de fatores são agrupados. Por exemplo, um fator no gráfico de fatores pode ser . A rede bayesiana original armazenava isso como três fatores, mas o gráfico de fatores o armazena apenas como um fator. Em geral, o gráfico fatorial de uma rede bayesiana mantém registros de menos fatorações do que a rede bayesiana original.$P(X_i| X_{j_1},..,X_{j_n})P(X_{j_n})P(X_{j_1}) = P(X_i| X_{j_2},..,X_{j_{n-1}})$