Expectativa é a mesma que média?

Estou fazendo ML na minha universidade, e o professor mencionou o termo Expectativa (E), enquanto tentava nos explicar algumas coisas sobre os processos gaussianos. Mas, pela maneira como ele explicou, eu entendi que E é o mesmo que a média μ. Eu entendi certo?

Se for o mesmo, você sabe por que os dois símbolos são usados? Também vi que E pode ser usado como uma função, como E ( ), mas não vi isso para μ. $x^2$

Alguém pode me ajudar a entender melhor a diferença entre os dois?

machine-learning gaussian-process linear-algebra

— Jim Blum
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Para contínuo , que é a função de densidade de probabilidade. Portanto, é verdade apenas quando é o argumento. No entanto, também pode ser verdade se tivermos , onde é algo diferente da função de identidade.

X

$X$

E [X] = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) x d x = μ (x)

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)x dx = \mu(x)$

f (x)

$f(x)$

X

$X$

E [g (X)] = E [X] = μ (X)

$E[g(X)] = E[X] = \mu(X)$

g

$g$

— Jase

@Jase ? Por que o lado direito é uma função de

μ (x)

$\mu(x)$

x

$x$ , que deveria ter desaparecido após a substituição dos limites ao avaliar a integral?

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate

foi um erro de digitação. Significa dizer

μ (x)

$\mu(x)$

μ = μ (X)

$\mu = \mu(X)$

— Jase

John: se eu fosse você, aprenderia a probabilidade básica antes de ter aulas de Machine Learning / Processos Gaussianos. Dê uma olhada neste livro: math.uiuc.edu/~r-ash/BPT.html

— Zen

Muito obrigado pessoal pela sua ajuda! Eu não esperava tanto feedback. @ Zen Muito obrigado pelo seu conselho. Eu concordo plenamente com você. Tomei um módulo como estudante de graduação em probabilidades e estatísticas. No entanto, tivemos apenas uma introdução simples em distribuições e probabilidades e, infelizmente, não as fizemos em profundidade. Além disso, não mencionamos o termo "Expectativa". Estou tentando agora, cobrir minhas lacunas em estatísticas e probabilidades por mim mesmo.

— Jim Blum

Respostas:

Expectativa / valor esperado é um operador que pode ser aplicado a uma variável aleatória. Para variáveis aleatórias discretas (como binomial) com valores possíveis, é definido como . Ou seja, é a média dos possíveis valores ponderados pela probabilidade desses valores. Variáveis aleatórias contínuas pode ser pensado como a generalização deste: . A média de uma variável aleatória é sinônimo de expectativa. $k$ $\sum_i^k x_i p(x_i)$ $\int x dP$

A distribuição gaussiana (normal) possui dois parâmetros e . Se é normalmente distribuído, então . Portanto, a média de uma variável distribuída gaussiana é igual ao parâmetro . Isso nem sempre é o caso. Pegue a distribuição binomial, que possui os parâmetros e . Se é binomialmente distribuído, então . $\mu$ $\sigma^2$ $X$ $E(X)=\mu$ $\mu$ $n$ $p$ $X$ $E(X)=np$

Como você viu, também é possível aplicar expectativa às funções de variáveis aleatórias, de modo que, para um gaussiano, você possa descobrir que . $X$ $E(X^2)=\sigma^2+\mu^2$

A página da Wikipedia sobre valores esperados é bastante informativa: http://en.wikipedia.org/wiki/Expected_value

— Jeremy Coyle
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X

$X$

E (X^{2}) = σ^{2} + μ^{2}

$E(X^2)=\sigma^2+\mu^2$

X

$X$

E (X^{2}) = V (X) + E (X)^{2}

$E(X^2)=V(X)+E(X)^2$

E (X^{2})

$E(X^2)$

X

$X$

(n, p)

$(n,p)$

n p (1 - p) + (n p)^{2}

$np(1-p)+(np)^2$

σ^{2} + μ^{2}

$\sigma^2+\mu^2$

E (X^{2})

$E(X^2)$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ^{2} + μ^{2}

$\sigma^2+\mu^2$

n

$n$

p

$p$

p = 1 - \frac{variance}{mean}

$p = 1 - \frac{\text{variance}}{\text{mean}}$

n = \frac{mean}{p} = \frac{{mean}^{2}}{mean - variance} .

$n = \frac{\text{mean}}{p} = \frac{\text{mean}^2}{\text{mean}-\text{variance}}.$

E (X)

$E(X)$

μ

$\mu$

Muito obrigado Jeremy! Excelente resposta. você foi muito prestativo!

— Jim Blum

Expectativa com uma notação de operador E () (são encontradas preferências variadas em boas fontes, romana ou itálica, simples ou extravagante) implica assumir a média de seu argumento, mas em um contexto matemático ou teórico. O termo remonta a Christiaan Huygens no século XVII. A idéia é explícita em grande parte da teoria da probabilidade e das estatísticas matemáticas e, por exemplo, o livro de Peter Whittle, Probabilidade via expectativa, deixa claro como isso poderia ser ainda mais centralizado.

É basicamente apenas uma questão de convenção que os meios (médias) também são frequentemente expressos de maneira bastante diferente, notadamente por símbolos únicos, e especialmente quando esses meios devem ser calculados a partir dos dados. No entanto, Whittle no livro mencionado acima usa a notação A () para calcular a média e os colchetes angulares em torno de variáveis ou expressões a serem calculadas como média, são comuns na ciência física.

— Nick Cox
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